El cubo tiene 48 simetrías, son los movimientos (rotaciones alrededor de un eje y reflexiones respecto de un plano o un punto) que vuelven a dejar al cubo sobre el inicial aunque los vértices hayan cambiado de lugar. En cada uno de los casos analizados se ha utilizado un código numérico que presenta los ocho vértices ordenados del 1 al 8 en las dos caras laterales, empezando con el vértice superior derecho y ordenando los otros tres en sentido contrario a las agujas del reloj, continuamos con los con los de la cara opuesta de la misma forma.[br][br]Cuando hacemos una simetría se indica la posición inicial, que siempre es {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y el lugar en el que ha acabado cada vértice utilizando el mismo orden anterior, por ejemplo, en la simetría número 5 que consiste en una rotación de 90º alrededor de un eje horizontal perpendicular a la cara frontal. Después del movimiento las posiciones son {4, 3, 7, 8, 1, 2, 6, 5}. Esta ordenación de los vértices será útil para la composición de simetrías.[br][br]Los controles del applet se han situado en la ventana izquierda:[br][list][*]En la parte superior un deslizador con botones (azul) recorre una a una las 48 simetrías. Cada vez que cambiamos pasamos de una a otra se inicia una animación que muestra el (los) movimiento(s) de esa simetría[/*][*]El código numérico de la posición inicial y final de cubo en cada simetría.[/*][*]El botón (verde) para reiniciar la animación de esa simetría por si la queremos revisar.[/*][*]Botones para iniciar o detener el giro automático del poliedro.[/*][/list]

[b]Hay dos tipos de simetrías:[/b][br][br] 24 rotaciones [br][list][*]Identidad, que podríamos considerar como una rotación de 0º alrededor de cualquiera de los ejes.[/*][*]9 rotaciones alrededor de cada uno de los tres ejes perpendiculares al centro de dos caras opuestas con ángulos de 90º, 180º y 270º.[/*][*]6 rotaciones de 180º alrededor de cada una de las rectas que unen los puntos medios de dos aristas opuestas.[/*][*]8 rotaciones alrededor de cuatro ejes que forman las diagonales espaciales del cubo cuando unen vértices opuestos del cubo. Podemos hacerlo con dos ángulos: 120º y 240º.[br][/*][/list][br] 24 movimientos que utilizan la reflexión, en algunos casos combinada con rotación.[br][list][*]3 simetrías respecto de planos que pasan por el centro del cubo y son paralelos a dos caras opuestas.[/*][*]6 simetrías respecto de planos que pasan por cuatro puntos que son vértices de diagonales paralelas situadas en dos caras opuestas del cubo.[/*][*]6 simetrías respecto de planos paralelos a caras opuestas que pasan por el centro seguidas de rotación por eje perpendicular a ese plano con ángulos de 90º y 270º.[/*][*]8 rotaciones (de 60º y 300º) alrededor cada uno de los cuatro ejes que unen vértices opuestos del cubo seguidas de simetrías respecto de un plano perpendicular a ese eje que pasa por el centro.[/*][*]1 simetría central respecto del centro del cubo.[/*][/list][br][b]Composición de simetrías[/b][br][br]Veremos en primer lugar un ejemplo cuyo resultado podemos prever con facilidad: la composición de una rotación de 180º alrededor de un eje perpendicular a la cara frontal (simetría núm 6) con otra rotación de 90º alrededor del mismo eje (Simetría núm 5). El resultado será una rotación de 270º alrededor del eje (Simetría número 7). [br][br]Utilizaremos la codificación de vértices mencionada más arriba: la simetría número 6 pasa de{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} a {8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1}. Si después aplicamos la simetría número 5 pasaría de la inicial a {4, 3, 7, 8, 1, 2, 6 ,5}. Pero después del primer movimiento han cambiado los vértices, por ejemplo, el 7 ocupa la 2ª posición y el segundo movimiento lleva el 2º vértice a la 6ª posición, luego el vértice número 7 pasará a la 6º posición al encadenar los dos movimientos. El vértice número 5 pasa al 4º lugar después de la primera rotación de 180º y la segunda rotación de 90º lleva el vértice desde la cuarta posición a la primera. Si hacemos esto para todos los vértices tenemos como resultado {5, 6, 2, 1, 8, 7, 3, 4} que es la ordenación de vértices de la simetría número 7 consistente en una rotación de 270º alrededor del eje mencionado. [br][br]Esto lo podemos ver mejor en forma de matrices que transforman los vértices de la primera fila y los llevan a los lugares descritos por los números de la segunda fila. hay que tener en cuenta además que la composición de movimientos se escribe de derecha a izquierda:[br]

[br]Ahora un ejemplo con reflexiones: la simetría número 25 es una reflexión respecto de un plano horizontal que pasa de {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} a {4, 3, 2, 1, 8, 7, 6, 5} mientras que la simetría número 27, reflexión respecto de un plano vertical izquierda lleva los vértices iniciales a {5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4}. El vértice núm 1 pasa en primer lugar al 4º y después la segunda simetría lo lleva al 8º lugar, luego el 1 pasa a la 8ª posición. Y así todos para concluir en {8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1} con lo que la composición de esas dos reflexiones dan como resultado una de las 48 simetrías la número 6, que es la rotación de 180º alrededor de un eje perpendicular a la cara frontal.

Veremos por último un ejemplo más que combine una reflexión con una rotación, las simetría número 31, la reflexión por un plano que pasa por los vértices 2, 4, 8 y 6 lleva los vértices a {3, 2, 1, 4, 7, 6, 5, 8}. Si después aplicamos la número 18 que es una rotación de 240º alrededor la diagonal espacial que pasa por los vértices 4 y 6, codificada como {8, 5, 1, 4, 7, 6, 2, 3}. Obtenemos por resultado {1, 5, 8, 4, 2, 6, 7, 3} que es lo que ocurre cuando hacemos la simetría número 29, la reflexión del cubo por el plano que pasa por los vértices 1, 6, 7, y 4