El cubo tiene 48 simetrías, son los movimientos (rotaciones alrededor de un eje y reflexiones respecto de un plano o un punto) que vuelven a dejar al cubo sobre el inicial aunque los vértices hayan cambiado de lugar. En cada uno de los casos analizados se ha utilizado un código numérico que presenta los ocho vértices ordenados del 1 al 8 en las dos caras laterales, empezamos con el vértice superior derecho de la cara lateral que tenemos a la vista y ordenamos los otros tres en sentido contrario a las agujas del reloj, continuamos con los con los de la cara opuesta de la misma forma.[br][br][b]Codificación de un movimiento.[/b][br][br]Cuando hacemos una simetría se indica la posición inicial, que siempre es {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y el lugar en el que ha acabado cada vértice después de la simetría utilizando el mismo orden anterior, por ejemplo, en la simetría número 5 que consiste en una rotación de 90º alrededor de un eje horizontal perpendicular a la cara frontal. Después del movimiento las posiciones son {4, 3, 7, 8, 1, 2, 6, 5}. Esta ordenación de los vértices será útil para la composición de simetrías.[br][b][br]Manipulación del applet.[/b][br][br]Los controles del applet se han situado en la ventana izquierda:[br][list][*]En la parte superior tenemos un deslizador con botones (azul) que recorre una a una las 48 simetrías. Cada vez que pasamos de una a otra se inicia una animación que muestra el (los) movimiento(s) que se realizan en esa simetría.[/*][*]Los códigos numéricos de la posición inicial y final de cubo en cada simetría.[/*][*]El botón (verde) para reiniciar la animación de esa simetría por si la queremos revisar.[/*][*]Botones para iniciar o detener el giro automático del poliedro.[/*][/list]

[b]Hay dos tipos de simetrías:[/b][br][br] 24 rotaciones [br][list][*]1, la identidad, que podríamos considerar como una rotación de 0º alrededor de cualquiera de los ejes.[/*][*]9 rotaciones (2 a 10) alrededor de cada uno de los tres ejes perpendiculares al centro de dos caras opuestas con ángulos de 90º, 180º y 270º.[/*][*]6 rotaciones (11 a 16) de 180º alrededor de cada una de las rectas que unen los puntos medios de dos aristas opuestas.[/*][*]8 rotaciones (17 a 24) alrededor de cuatro ejes que forman las diagonales espaciales del cubo cuando unen vértices opuestos del cubo. Podemos hacerlo con dos ángulos: 120º y 240º.[br][/*][/list][br] 24 movimientos que utilizan la reflexión, en algunos casos combinada con rotación.[br][list][*]3 reflexiones (25 a 27) respecto de planos que pasan por el centro del cubo y son paralelos a dos caras opuestas.[/*][*]6 reflexiones (28 a 33) respecto de planos que pasan por cuatro puntos que son vértices de diagonales paralelas situadas en dos caras opuestas del cubo.[/*][*]6 reflexiones (34 a 39) respecto de planos paralelos a caras opuestas que pasan por el centro seguidas de rotación por eje perpendicular a ese plano con ángulos de 90º y 270º.[/*][*]8 rotaciones (40 a 47) (de 60º y 300º) alrededor cada uno de los cuatro ejes que unen vértices opuestos del cubo seguidas de reflexiones respecto de un plano perpendicular a ese eje que pasa por el centro.[/*][*]1 simetría central respecto del centro del cubo.[/*][/list][br][b]Composición de simetrías[/b][br][br]En la ventana inferior se ha incluido una parte de la aplicación dedicada a la composición de simetrías. Si realizamos dos simetrías cualesquiera , la segunda sobre los efectos de la primer, el resultado será una de las 48 simetrías analizadas. De ese modo sabemos que la composición de simetrías es una operación interna es decir, el conjunto de las 48 simetrías es cerrado para la composición.[br][br]Veremos en primer lugar un ejemplo cuyo resultado podemos prever con facilidad: la composición de una rotación de 180º alrededor de un eje perpendicular a la cara frontal (Simetría 6) con otra rotación de 90º alrededor del mismo eje (Simetría núm 5). El resultado será una rotación de 270º alrededor del eje (Simetría 7). [br][br]Utilizamos la codificación de vértices mencionada más arriba: la simetría número 6 pasa de{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} a {8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1}. Si después aplicamos la simetría número 5 pasaría de la inicial a {4, 3, 7, 8, 1, 2, 6 ,5}. Pero después del primer movimiento han cambiado los vértices, por ejemplo, el 7 ocupa la 2ª posición y el segundo movimiento lleva el 2º vértice a la 6ª posición, luego el vértice número 7 pasará a la 6º posición al encadenar los dos movimientos. Lo vemos con otro vértice, el 5 pasa al 4º lugar después de la primera rotación de 180º y la segunda rotación de 90º lleva el vértice desde la cuarta posición a la primera. Si hacemos esto para todos los vértices tenemos como resultado {5, 6, 2, 1, 8, 7, 3, 4} que es la ordenación de vértices de la simetría número 7 consistente en una rotación de 270º alrededor del eje mencionado. [br][br]Esto lo podemos ver mejor en forma de matrices que transforman los vértices de la primera fila y los llevan a los lugares descritos por los números de la segunda fila. Hay que tener en cuenta además que la composición de movimientos se escribe de derecha a izquierda:[br]

Ahora un ejemplo con reflexiones: la simetría número 25 es una reflexión respecto de un plano horizontal que pasa de {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} a {4, 3, 2, 1, 8, 7, 6, 5} mientras que la simetría número 27, reflexión respecto de un plano vertical izquierda lleva los vértices iniciales a {5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4}. El vértice núm 1 pasa en primer lugar al 4º y después la segunda simetría lo lleva al 8º lugar, luego el 1 pasa a la 8ª posición. Y así todos para concluir en {8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1} con lo que la composición de esas dos reflexiones dan como resultado una de las 48 simetrías la número 6, que es la rotación de 180º alrededor de un eje perpendicular a la cara frontal.

[b]El grupo de las simetrías del cubo (no conmutativo)[/b][br][br]Ya hemos visto que el conjunto de las 48 simetrías es cerrado para la operación composición de simetrías, ahora veremos que tiene estructura de grupo:[br][list][*]Con el applet podemos ver algunos ejemplos y comprobar que cumplen la propiedad asociativa: S[sub]9[/sub]*(S[sub]18[/sub]*S[sub]27[/sub])=S[sub]9[/sub]*S[sub]44[/sub]=S[sub]42[/sub] y (S[sub]9[/sub]*S[sub]18[/sub])*S[sub]27[/sub]=S[sub]21[/sub]*S[sub]27[/sub]=S[sub]42[/sub].[/*][*]El elemento neutro es S[sub]1[/sub], la identidad: compuesta con cualquier simetría da como resultado esa simetría.[/*][*]Cada elemento tiene su inverso. El inverso de la rotación de 90º respecto de un eje perpendicular a a una de las caras (por ejemplo, S[sub]8[/sub]) tiene por simétrico la rotación de 270º (S[sub]10[/sub]) alrededor de ese mismo eje. S[sub]10[/sub]*S[sub]8[/sub]=S[sub]8[/sub]*S[sub]10[/sub]=S[sub]1[/sub]. El inverso de cualquier Reflexión respecto de un plano es ese mismo movimiento: S[sub]28[/sub]*S[sub]28[/sub]=S[sub]1[/sub].[/*][/list][br]El grupo no es conmutativo, lo vemos con un contraejemplo: S[sub]37[/sub]*S[sub]8[/sub]=S[sub]47[/sub], mientras S[sub]8[/sub]*S[sub]37[/sub]=S[sub]43[/sub].