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Binomialkoeffizient
Nachdem du dieses Buch durchgearbeitet hast, hat sich folgendes verändert: [list] [*]Du lernst den Binomialkoeffizienten kennen. [*]Du kannst Binomialkoeffizienten berechnen. [*]Du weißt Anwendungen dafür. [*]Du kennst das Pascalsche Dreieck. [/list] Herzlich willkommen. Von dir wird erwartet [list] [*]Du kannst Brüche kürzen. [*]Du weißt, was die Fakultät einer natürlichen Zahl ist. [*]Du kennst die binomischen Formeln (a+b)² bzw. (a-b)² [/list]
Table of Contents
- Der Binomialkoeffizient
- Einleitung Binomialkoeffizient
- Binomialkoeffizient
- Das Pascalsche Dreieck
- Das Pascalsche Dreieck
- binomische Formeln für n>2
- Schluss
- Binomialkoeffizient Self-Check
Einleitung Binomialkoeffizient
Wenn du das Material durchgearbeitet hast, hat sich Folgendes verändert:
[list]du hast beobachtet, wie viele Möglichkeiten du hast, um aus einer Menge eine bestimmte Anzahl Elemente auszuwählen.[br][/list]
1 Smarties
Nimm dir 5 unterschiedliche Smarties.[br]Wenn du davon eines essen darfst, wie viele verschiedene Möglichkeiten dazu hast du?
2 Smarties
Nimm dir Ersatz für das gegessene Smarties aus der Schüssel, so dass du wieder fünf hast.[br]Jetzt darfst du zwei davon essen. Wie viele Kombinationen sind möglich?
3 Smarties
Nimm dir wieder Ersatz. Von den fünf Smarties darfst du nun drei wählen. Wie viele Möglichkeiten hast du?
4 Smarties
Und wieder darfst du die gegessenen Smarties ersetzen. Wie viele Möglichkeiten hast du, vier Stück auszuwählen?
5 Smarties
Wenn du nun darüber nachdenkst, wie viele Möglichkeiten du hast, alle fünf Smarties zu essen, fällt dir die Antwort sicher leicht.
0 Smarties
Die Frage klingt vielleicht merkwürdig, aber in der Mathematik muss alles vollständig sein: wenn ich sage, du darfst von den fünf Smarties keines essen, wie viele Möglichkeiten dazu hast du?
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weniger Smarties
Mach nun dasselbe Experiment gedanklich, starte dabei mit 4 Smarties. Wähle 0, 1, 2, 3 bzw. 4 Stück aus.[br]Notiere die Ergebnisse im Arbeitsblatt. Wenn du deine Smarties schon aufgegessen hast, dann kannst du die Punkte unten benutzen.[br]Mach dann dasselbe ausgehend von 3 Smarties, dann von 2, dann von einem. Das geht schnell.[br]Hast du eine Idee, was herauskommen soll, wenn wir von einer leeren Menge ausgehen? Was könnte man da auswählen? Auf wie viele Arten?
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Wenn du möchtest, dann kannst du noch ein paar Experimente machen:
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Zusatzaufgabe: Erkenne ein Muster
Schau dir deine Aufzeichnungen an. Es gibt da ein Muster in den Ergebnissen. Erkennst du es? Und wenn ja: kannst du es dir erklären?[br]Teile deine Erkenntnisse mit der Lehrperson.
Das Pascalsche Dreieck
Nachdem du dieses Material durchgearbeitet hast, hat sich Folgendes verändert:
[list][*]Du weißt, was das Pascalsche Dreieck ist.[br][/*][*]Du weißt, wofür die Binomialkoeffizienten darin verwendet werden.[br][/*][*]Du kannst die Elemente im Pascalschen Dreieck rekursiv berechnen.[br][/*][*]Du hast ein Bild von Blaise Pascal gesehen.[br][/*][/list]
Schau auf dein Arbeitsblatt zu den Ergebnissen der Smarties-Übung.
Du wirst bemerken, dass die Ergebnisse auf eine bestimmte Art angeordnet sind. Das ist nicht nur, damit es hübsch aussieht und übersichtlich ist. [br]In diesem Dreieck hat jede Position eine eindeutige "Adresse" - die Zeile entspricht der Anzahl der Smarties, die die Grundmenge sind, und darin wird zunächst 0, dann 1, dann 2, ... Smarties ausgewählt.
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Erkläre!
Heb die Hand, wenn du hier angekommen bist. Schau dich um. Such dir einen Partner oder eine Partnerin, der ebenfalls gerade die Hand hebt. Wählt jeder eine Rolle aus:[list][*]eine Sechsjährige[br][/*][*]ein Elternteil[/*][*]ein Großelternteil[/*][*]ein Mensch aus dem alten Rom[/*][*]jemand, der schlecht sehen kann[/*][*]oder hast du eine eigene Idee?[br][/*][/list]Der/die andere erklärt nun den Aufbau des Pascalschen Dreiecks, während du in deiner Rolle zuhörst.
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Berechne!
Welche Zahl gehört nun in Zeile 5 an Position 2?
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Wie hast du das ausgerechnet?
rekursive Berechnung der Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck
Der Binomialkoeffizient lässt sich nicht nur mit der bisher verwendeten Formel berechnen, sondern auch aus den beiden darüberliegenden Binomialkoeffizienten. [br]So ein Verfahren nennt man [b]Rekursion[/b].[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere mit den Schiebereglern die Werte für [b][color=#0000ff]n[/color][/b] und [b][color=#45818e]k[/color][/b].[br]Blende im rechten Fenster die Berechnung ein, die zeigt, wie aus zwei Binomialkoeffizienten in der oberen Zeile ein Binomialkoeffizient in der darunterliegenden Zeile entsteht.[br]Zoome bei Bedarf im linken Fenster, um die Binomialkoeffizienten für größere Werte von n zu berechnen.
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Zusatzaufgabe: Rekursion
Kannst du die Rekursion "mathematisch" beschreiben? Eine Formel aufstellen, die sagt, wie sich [math]\binom{n}{k}[/math] aus den "darüber liegenden" Werten ableiten lässt?[br]Hinweis: wie kannst du diese Ausgangswerte beschreiben, wenn du von n und k ausgehst?
Binomialkoeffizient Self-Check
Einfache Binomialkoeffizienten
[math]\binom{n}{0}[/math]ist immer
Einfache Binomialkoeffizienten
[math]\binom{n}{1}[/math]ist immer
Einfache Binomialkoeffizienten
[math]\binom{n}{n-?}[/math]ist immer n
Einfache Binomialkoeffizienten
[math]\binom{n}{n}[/math]ist immer
Teste dich selbst!
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
Ergänze:
Mit dem Binomialkoeffizienten berechnet man die ___________ der Möglichkeiten, k Elemente aus einer _________ von n Elementen auszuwählen. Dabei kann jedes Element _____________ ausgewählt werden.
Ergänze:
Im Pascalschen Dreieck haben wir __________ Möglichkeiten kennen gelernt, die einzelnen Werte zu berechnen.
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Berechne zehn verschiedene Binomialkoeffizienten:
Beispiele
Erfinde nun noch selbst fünf Beispiele, die sich mit dem Binomialkoeffizienten lösen lassen oder eindeutig nicht lösen lassen. Schreib je eine auf ein Kärtchen. Wenn alle die Beispiele abgegeben haben, ziehst du fünf Kärtchen (nicht deine eigenen) und löst die Aufgaben.[br]Überprüfe immer zunächst, ob die Aufgabe überhaupt auf diesem Weg lösbar ist.