Vectores, rectas y planos en el espacio
Geometría del espacio: posiciones relativas, simetrías, proyecciones, distancias, rectas que unen rectas. Para más información ver Epsiclas en la https://www.epsilones.com/epsiclas/index.html
Table of Contents
- Vectores y coordenadas
- El punto en tres dimensiones
- Operaciones con vectores en el espacio
- Combinación lineal de vectores en el espacio
- Coordenadas
- Cambio de base
- Ecuación vectorial de la recta y el plano
- Ecuación vectorial de la recta
- Ecuación vectorial del plano
- Vector director de una recta expresada por dos planos secantes
- Posiciones relativas
- Posiciones relativas: recta y plano (visualizador)
- Posiciones relativas: tres planos (ejemplos)
- Proyecciones y simetrías
- Simétrico de un punto respecto de otro punto
- Proyección de un punto sobre un plano. Punto simétrico.
- Proyección de un punto sobre una recta. Punto simétrico.
- Proyección de una recta sobre un plano. Recta simétrica.
- Ángulos y distancias
- Ángulos entre rectas y planos
- Distancia punto-recta y recta-recta
- Rectas que tocan rectas
- Recta perpendicular a dos que se cruzan
- Recta que une punto y dos rectas cruzadas
El punto en tres dimensiones
[b]Asunto[br][/b]Se visualiza un punto en un sistema de referencia en tres dimensiones.[br][br][b]Interactividad[br][/b][list][*]Los deslizadores mueven el punto [b]P[/b] en cada una de las tres dimensiones del espacio.[/*][*]El punto[b] P[/b] (en rojo) se puede mover directamente arrastrándolo. Haciendo clic sobre el punto se pasa de un movimiento horizontal a una vertical y al revés. [/*][*]Toda la figura puede moverse arrastrando un punto donde no haya nada. [/*][/list]
[b]Visión 3D: [/b][url=http://www.epsilones.com/paginas/gg/auxiliar/gg-3d.html]La construcción se puede ver en 3D.[/url][br][b][br]+ construcciones[/b]: [url=http://www.epsilones.com/paginas/gg/gg-indice.html]Epsilones[/url]
Ecuación vectorial de la recta
[b]Asunto[br][/b]Se visualiza la ecuación vectorial de la recta en tres dimensiones.[br][br][b]Interactividad[br][/b][list][*]Los puntos A y X pueden moverse arrastrándolos con el ratón. [/*][*]El vector director [b]u [/b]también puede modificarse arrastrando el punto rojo de su extremo.[/*][*]Con los botones de reproducción se sigue el proceso. [/*][/list][br][b]Guion[br][/b][list=1][*]Tenemos una [b]recta[/b] que queremos describir mediante una ecuación respecto de un [b]sistema de coordenadas[/b].[/*][*]Elegimos un punto [b]X[/b] cualquiera. [/*][*]Se trata de llegar a él desde el [b]origen de coordenadas[/b].[/*][*]Necesitamos para ello conocer un punto de la recta:[b] A[/b].[/*][*]Y un vector:[b] u[/b].[/*][*]Desde el origen primero vamos hasta [b]A[/b].[/*][*]Una vez en la recta solo falta multiplicar[b] u[/b] por el coeficiente preciso para llegar hasta [b]X[/b]. [/*][/list]
[b]Sugerencias[br][/b][list=1][*]Cambia A de sitio.[/*][*]Cambia X de sitio.[/*][*]Cambia el vector u.[/*][*]Observa qué pasa cuando [math]\lambda[/math] vale 2, o -1...[/*][*]Prueba en 3D: te sorprenderá.[/*][/list][b][br]Visión 3D[/b]: [url=http://www.epsilones.com/paginas/gg/auxiliar/gg-3d.html]La construcción se puede ver en 3D.[/url][b][br]+construcciones[/b]: [url=https://www.epsilones.com/paginas/gg/gg-indice.html]Epsilones[/url]
Posiciones relativas: recta y plano (visualizador)
[b]Asunto[br][/b]Visualización de tres planos y dos rectas en tres dimensiones.[br][br][b]Interactividad[/b][br] 1. Se pueden introducir tres planos mediante sus ecuaciones generales.[br] 2. Se pueden introducir dos rectas mediante punto y vector director.[br] 3. Las casillas de selección permiten mostrar unos u otros objetos.[br] 4. La imagen se puede mover arrastrando el ratón.
[b]Ampliación[br][/b]Puedes ver la posición relativa de tus propios planos introduciendo sus ecuaciones en [br][url=https://www.geogebra.org/m/wkqrpgnk][i]Geo-019 Posiciones relativas: recta y plano (ejemplos)[br][/i][/url][b][br]Visión 3D: [/b][url=http://www.epsilones.com/paginas/gg/auxiliar/gg-3d.html]La construcción se puede ver en 3D.[/url][br][b][br]+ construcciones[/b]: [url=http://www.epsilones.com/paginas/gg/gg-indice.html]Epsilones[/url]
Simétrico de un punto respecto de otro punto
[b]Asunto[/b][br]Punto simétrico de un punto A respecto de otro punto P.[br][br][b]Ideas[/b][br]Se calcula el vector que une A con P. Luego se multiplica por dos. El punto simétrico es el resultado de aplicarle este último vector al punto A.[br][br][b]Interactividad[br][/b][list][*]Con las flechas de la barra de navegación se puede [b]avanzar o retroceder por la construcción[/b].[/*][*]Los puntos A y P se pueden [b]mover [/b]arrastrando.[/*][*]Arrastrando se puede [b]girar [/b]todo el conjunto.[/*][/list]
[b]Visión 3D: [/b][url=http://www.epsilones.com/paginas/gg/auxiliar/gg-3d.html]La construcción se puede ver en 3D.[/url][br][b][br]+ construcciones[/b]: [url=http://www.epsilones.com/paginas/gg/gg-indice.html]Epsilones[/url]
Ángulos entre rectas y planos
[b][code][/code][size=150]Asunto[/size][br][/b]Calcular el ángulo formado por dos rectas, una recta y un plano o dos planos. [br][br][b][br][br]Ángulo formado por dos rectas[br][/b]Las dos rectas deben cruzarse. Si no lo hacen se puede hablar del ángulo formado por sus direcciones, pero no propiamente por las rectas.[br]Si las dos rectas se cruzan, forman dos ángulos. Se considera entonces el menor de los dos.
[b][br][br]Ángulo formado por una recta y un plano[br][/b]Es el menor de los ángulos posibles, que es el que da la recta con su proyección ortogonal.
[b][br][br]Ángulo formado por dos planos[br][/b]Es el menor de los posibles, que es el dan las rectas de corte de los dos planos con otro perpendicular a ambos.
[b]Visión 3D: [/b][url=http://www.epsilones.com/paginas/gg/auxiliar/gg-3d.html]La construcción se puede ver en 3D.[/url][br][b][br]+ construcciones[/b]: [url=http://www.epsilones.com/paginas/gg/gg-indice.html]Epsilones[/url]
Recta perpendicular a dos que se cruzan
[b]Asunto[/b][br]Encontrar la recta que corta perpendicularmente a otras dos rectas [b]r[/b] y [b]s[/b] que se cruzan. [br][br][b]Idea[/b][br]Construir un vector [b]n[/b] perpendicular a las dos rectas. Después, construir dos planos paralelos a [b]n[/b] que contenga cada uno a una de las dos rectas.[br][br][b]Guion[/b][br][list=1][*]Se construye un vector [b]n [/b]perpendicular a las dos rectas. [br][/*][*]Se construye un plano [math]\pi[/math] que contenga a la recta [b]r [/b]y se gira mediante el deslizador hasta que sea paralelo a [b]n[/b].[/*][*]Se construye un plano [math]\sigma[/math] que contenga a la recta [b]s [/b]y se gira mediante el deslizador hasta que sea paralelo a [b]n[/b].[/*][*]La solución es la intersección de los dos planos. [/*][*]Para ver la recta solución se marca la casilla.[/*][*]Se quitan los planos y el vector [b]n[/b]. [/*][/list]
[b]Interactividad[br][/b][list][*][b]Girar[/b]: arrastrando con el botón izquierdo. [/*][/list][b][br]Visión 3D: [/b][url=http://www.epsilones.com/paginas/gg/auxiliar/gg-3d.html]La construcción se puede ver en 3D[/url][br][br][b]+ construcciones[/b]: [url=http://www.epsilones.com/paginas/gg/gg-indice.html]Epsilones[/url]