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Exponentialfunktion
-
1. Eigenschaften
- Basis der Exponentialfunktion
- Vertikale Verschiebung
- Horizontale Verschiebung
- Vertikale Streckung /Stauchung
- Horizontale Streckung / Stauchung
- Alle Verschiebungen und Streckungen
-
2. Basis e
- Basisvergleich
- Natürliche Basis
- Eigenschaft mit natürlicher Basis
- Vergleich mit anderen Basen
-
3. Wachstum und Zerfall
- Exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall
-
4. Anwendungsbeispiele
- Medikamente im Blut
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Exponentialfunktion
Samuel Gamper, Mar 30, 2024
Exponentialfunktion
Table of Contents
- Eigenschaften
- Basis der Exponentialfunktion
- Vertikale Verschiebung
- Horizontale Verschiebung
- Vertikale Streckung /Stauchung
- Horizontale Streckung / Stauchung
- Alle Verschiebungen und Streckungen
- Basis e
- Basisvergleich
- Natürliche Basis
- Eigenschaft mit natürlicher Basis
- Vergleich mit anderen Basen
- Wachstum und Zerfall
- Exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall
- Anwendungsbeispiele
- Medikamente im Blut
Basis der Exponentialfunktion
Hier wird der Einfluss der Basis auf die Funktion untersucht.
Aufgabe 1
Gezeichnet ist die Exponentialfunktion . Beschreiben Sie den Verlauf der Kurve. Gehen Sie insbesondere auf dessen Kurvenverlauf im Intervall und im Intervall ein.
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Die Funktion nähert sich für Null an. Dies bedeutet, dass die x-Achse Asymptote ist.
Für wächst die Funktion gegen .
Die gesamte Funktion ist monoton steigend.
Aufgabe 2
Mit Hilfe des Schiebereglers lässt sich die Basis der Exponentialfunktion verändern.
Vergrössern Sie die Basis und beschreiben Sie wie sich der Funktionsgraph dabei ändert.
Beschreiben Sie auch was gleich bleibt und was speziell am Punkt A ist.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Je grösser die Basis wird, desto rascher steigt die Funktion für an und desto rascher sinkt die Funktion gegen Null für . Die gesamte Funktion ist monoton steigend.
Die Funktionen verlaufen alle durch den Punkt .
Der Punkt A hat die Koordinaten .
Aufgabe 3
Beschreiben Sie analog der obigen Aufgabe was passiert für .
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Hier wechselt die Funktion das Verhalten der beiden Intervalle. Im Intervall steigt die Funktion für gegen .
Dagegen sinkt die Funktion für gegen Null. Wiederum ist die x-Achse Asymptote.
Die gesamte Funktion ist monoton sinkend.
Aufgabe 4
Beobachten Sie nun, was für geschieht. Weshalb wird hier kein Funktionsgraph mehr angezeigt?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Für eine negative Basis sind nicht alle Potenzen definiert. So kann zum Beispiel nicht berechnet werden.
Exponentialfunktionen müssen also immer eine Basis besitzen.
Aufgabe 5
Betrachten wir nun noch die Spezialfällt und . Was lässt sich hier sagen?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Für lässt sich die Funktion auch als konstante Funktion darstellen, da jede Pontenz mit Basis 1 wiederum 1 ergibt.
Für lässt sich die Funktion (für positive Werte) auch als konstante Funktion darstellen, da jede positive Pontenz mit Basis 0 wiederum 1 ergibt. Dagegen ist diese Funktion für negative Werte nicht definiert, da nicht definiert ist.
Basisvergleich
Unten gezeichnet sehen Sie zwei Exponentialfunktionen mit verschiedenen Basen. Wir wollen hier der Frage nachgehen, ob man grundsätzlich jede Exponentialfunktion mit jeder beliebigen (bis auf wenige Ausnahmen) Basis schreiben kann.
Aufgabe 1
Machen Sie sich mit den Schiebereglern vertraut. Was beeinflussen sie?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
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Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
ist die Basis der ersten Exponentialfunktion
ist die Basis der zweiten Exponentialfunktoin
ist ein Faktor, mit dem der Exponent der zweiten Funktion multipliziert wird.
Aufgabe 2
Wählen Sie zwei beliebige Basen (nicht 1) für die beiden Funktionen.
Passen Sie den Faktor k so an, dass die beiden Funktionsgraphen identisch werden. Ist dies immer möglich? Welche Ausnahmen finden Sie? Gibt es mehrere k-Werte, die dies erreichen?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Es ist immer möglich, ausser (mindestens) eine der Basen ist 1.
Sonnst findet man zu jeder Basis genau einen Wert , so dass die beiden Funktionen identisch sind.
Aufgabe 3
Wie hängen , und mathematisch voneinander ab? Können Sie aus und den Wert für berechnen?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Weil
Exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall
Oft wird die Exponentialfunktion für die mathematische Beschreibung eines Wachstumsprozesses oder eines Zerfallsprozesses eingesetzt. Ein exponentielles Wachstum beziehungsweise ein exponentieller Zerfall zeichnet sich dadurch aus, das im nächsten Zeitschritt der Bestand prozentual zum bestehenden Bestand wächst beziehungsweise sinkt.
Beschreibt eine Exponentialfunktion ein solches Wachstum (bzw. Zerfall), dann wählt man als Variable oft eine Zeiteinheit . Ausserdem wird auf der Ordinate der Bestand angegeben.
Wir haben bereits gesehen, dass sich jede beliebige Exponentialfunktion mit der Basis schreiben lässt. Tatsächlich ist es so, dass sich jede beliebige Exponentialfunktion mit einer beliebigen Basis () schreiben lässt. Durchgesetzt haben sich vier Werte, die hier etwas genauer untersucht werden sollen.
Aufgabe 1
Die rote Funktionsgleichung beschreibt den gezeichneten Funktionsgraphen.
Was bedeuten die folgenden Variablen und Parameter im Kontext eines exponentiellen Wachstums beziehungsweise eines exponentiellen Zerfalls?
, , ,
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
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Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
: Bezeichnet den Bestand zum Zeitpunkt , also nach Zeiteinheiten.
: Bezeichnet den Bestand zum Zeitpunkt , also den Anfangsbestand oder den Startwert.
: Dies ist der Wachstumsfaktor. Je grösser er ist, desto rascher wächst der Bestand. Wird der Wachstumsfaktor kleiner als Eins, so nimmt der Bestand mit der Zeit ab.
: Sind die Anzahl vergangener Zeiteinheiten.
Aufgabe 2
Eine wichtige Frage bei Exponentiellem Wachstum ist die nach der Verdoppelungszeit . sagt aus wie lange es dauert, bis sich ein Bestand verdoppelt hat.
Bestimmen Sie die Verdoppelungszeit bein einem Wachstumsfaktor von indem Sie den Punkt N auf dem Graph verschieben.
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
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• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Aufgabe 3
Betätigen Sie die Checkbox "Verdoppelung anzeigen". Was wird dadurch sichtbar?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Es werden die Zeitpunkte und die Bestände nach einer, zwei, drei und vier Verdoppelungszeiten angezeigt.
Aufgabe 4
Hängt die Verdoppelungszeit vom Startwert ab?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
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Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Nein.
Aufgabe 5
Verändern Sie den grünen Schieberegler . Es wird ein neuer Punkt im zeitlichen Abstand vom Punkt N gezeichnet. Ausserdem wird unten das Verhältnis der Bestände der beiden Punkte angegeben.
Verschieben Sie den Punkt N auf der Funktion und beobachten Sie wie sich das Verhältnis verändert.
Was stellen Sie fest? Finden Sie Spezialfälle?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
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Align right
Align center
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1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Das Verhältnis der beiden Bestände bleibt (für ein bestimmtes ) konstant. Für beträgt das Verhältnis genau , für beträgt das Verhältnis genau .
Aufgabe 6
Setzen Sie die Kontruktion wieder zurück in die Ausgangsstellung (Checkbox leer, ).
Verändern Sie die Basis (blauer Schieberegler) um einen Schritt.
Wie verändert sich der Funktionsgraph dabei?
Betrachten Sie nun die angezeigte Funktionsgleichung und bestimmen Sie die Bedeutung der angegebenen Variablen.
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
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1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Der Funktionsgraph bleibt (bis auf Rundungsfehler) identisch.
: Bezeichnet den Bestand zum Zeitpunkt , also nach Zeiteinheiten.
: Bezeichnet den Bestand zum Zeitpunkt , also den Anfangsbestand oder den Startwert.
: Dies ist die Wachstumgsrate. Oft gibt man die Wachstumsrate in Prozent an. Dieser Wert gibt an um wie viel Prozent (oder um welchen Faktor) der Bestand im nächsten Zeitschritt wächst.
: Sind die Anzahl vergangener Zeiteinheiten.
Aufgabe 7
Hat sich die Verdoppelungszeit verändert? Stimmt es immer noch, dass das Verhältnis der Bestände zweier benachbarter Werte konstant bleibt?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
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Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
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[bbcode]
Text tools
Insert Math
Nein, die Verdoppelungszeit hat sich nicht verändert.
Ja, dieses Verhältnis ist auch immer noch konstant.
Die Funktion hat sich ja nur formal verändert.
Aufgabe 8
Schieben Sie nun den blauen Schieberegler um einen weiteren Schritt weiter.
Die Funktionsgleichung verändert sich nun drastisch. Die Basis ändert sich auf den Wert 2. Dafür wird ein neuer Parameter im Exponenten eingeführt.
Was bedeutet dieser neue Parameter?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
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Align center
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1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
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Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
ist die so genannte Verdoppelungszeit. Nach der Zeit hat sich der Bestand verdoppelt.
Aufgabe 9
Wie rechnet man von der Verdoppelungszeit auf den Wachstumsfaktor oder auf die Wachstumsrate um?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
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1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Aufgabe 10
Schieben Sie nun den blauen Schieberegler um einen weiteren Schritt weiter.
Wieder ändert sich die Basis drastisch. Beschreiben Sie nun die neue Varialbe sowie die Basis.
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
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Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
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Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
: Ist die eulersche Zahl, die natürliche Basis
: Ist der so genannte Wachstumsfaktor. Er hat eine Einheit wie eine Frequenz (pro Zeiteinheit). Der Wachstumsfaktor wird vor allem dazu benötigt, die Funktion mit der Basis schreiben zu können.
Aufgabe 11
Setzen Sie nun alle Parameter wieder auf die Starteinstellungen zurück (Refresh - oben rechts).
Verändern Sie nun die Werte und so, dass ein Zerfall dargestellt wird.
Anstelle der Verdoppelungszeit können Sie sich nun die Halbwertszeit anzeigen lassen. Bestimmen Sie diese erst durch das Verschieben des blauen Punktes N und lassen Sie sich diese erst später anzeigen.
Was bedeutet "Halbwertszeit"?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
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Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Die Halbwertszeit gibt die Zeit an, die vergeht bis der Bestand auf die Hälfte gesunken ist.
Aufgabe 12
Was ist der Unterschied im Wachstumsfaktor und der Wachstumsrate für einen Zerfalls- im Vergleich mit einem Wachstumsprozess.
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
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1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
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[bbcode]
Text tools
Insert Math
Im Zerfallsprozess ist der Wachstumsfaktor kleiner als 1, im Wachstumsprozess ist .
Im Zerfallsprozess ist die Wachstumsrate negativ, im Wachstumsprozess ist .
Aufgabe 13
Was passiert mit der Basis 2 und der Verdoppelungszeit? Die Basis scheint sich grundlegend zu verändern. Erklären Sie.
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
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Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
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Insert image [ctrl+shift+1]
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[bbcode]
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Insert Math
Die allgemeine Funktionsgleichung mit Basis 2 lautet dabei ist entweder die Verdoppelungszeit oder die negative Halbwertszeit . Der Exponent muss negativ sein, da der Bestand abnimmt. Die Halbwertszeit ist jedoch immer ein positiver Wert, deshalb muss man sich das Minus dazu denken - oder man rechnet es in die Basis ein:
Aufgabe 14
Was geschieht mit dem Wachstumsfaktor
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Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
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Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
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Insert Math
Der Wachstumsfaktor wird negativ und wird neu Zerfallskonstante genannt.
Zusatzinformation:
Das Inverse der Zerfallskonstante heisst Lebensdauer . Es gilt:
Aufgabe 15
Frau Listig behauptet, dass man die Verdoppelungszeit ganz einfach abschätzen kann, wenn man weiss um wie viel Prozent sich ein Bestand pro Jahr vermehrt. Sie behauptet man müsse einfach 70 durch diese Prozentzahl teilen und man erhalte (ungefähr) die Verdoppelungszeit.
Verifzieren Sie diese Aussage mit Hilfe der Schieberegler. Ab wann stimmt diese Abschätzung nicht mehr so gut?
Hinweis: Beachten Sie, dass Sie die Wachstumsrate in Prozent umrechnen müssen.
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Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
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Insert Math
Diese Rechnung stimmt ziemlich gut.
Bei einem Wert von hat man erst Abweichungen von 0.25 Jahren, also etwa 3 Monate.
Aber auch für grössere Werte liefert diese Abschätzung brauchbare Resultate.
Bemerkungen
Wir haben festgestellt, dass sich jede Exponentialfunktion (ob Zerfall oder Wachstum) mit beliebigen Basen schreiben lässt. Die Wichtigsten Basen sind: (1+p), 2 und e.
Je nach Basis gibt es unterschiedliche Parameter, die auf unterschiedliche Eigenschaften der Funktion hinweisen. Wenn man einen dieser Parameter kennt, so lassen sich die anderen damit berechnen, die Berechnungen verlangen jedoch ein Verständnis des Logarithmus.
Wichtig sind die korrekten Bezeichnungen der Parameter:
- Wachstumsfaktor
- Wachstumsrate
- Verdoppelungszeit
- Halbwertszeit
- Wachstumsfaktor (falls )
- Zerfallskonstante (falls )
Medikamente im Blut
Nach einem mathematischen Modell werden Medikamente relativ rasch ins Blut aufgenommen. Die Konzentration im Blut steigt entsprechend schnell bis zu einem bestimmten Wert. Der Körper baut das Medikament langsam wieder ab, bis die Konzentration des Medikaments wieder Null beträgt.
Aufgabe 1
Betrachten Sie die angezeigte Funktion, welche die Aufnahme des Medikaments im Blut darstellt.
Was zeigt die y-Achse an, was zeigt die x-Achse an?
Wie lange dauert es bis die gesamte Medikamentendosis vom Blut aufgenommen wurde?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
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Align center
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Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
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Insert image [ctrl+shift+1]
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[bbcode]
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Insert Math
Die x-Achse ist eine Zeitachse, wahrscheinlich in Stunden.
Die y-Achse zeigt die Konzentration des Medikaments im Blut an. Zum Zeitpunkt Null wird ein Medikament eingenommen. Innerhalb von etwa zwei Stunden wird dieses Medikament vom Körper aufgenommen.
Da es sich um eine exponentielle Aufnahme handelt, ist die Aufnahme aus mathematische Sicht nie abgeschlossen. Deshalb muss der Wert (2 Stunden) hier abgeschätzt werden.
Aufgabe 2
Betrachten Sie nun den Abbau des Medikaments. Was zeigt die y-Achse und was zeigt die x-Achse an? Wie lange dauert es, bis das Medikament vollständig abgebaut ist?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
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Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
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Insert image [ctrl+shift+1]
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[bbcode]
Text tools
Insert Math
Die y-Achse zeigt die Konzentration des Medikaments an, die x-Achse zeigt die Zeit an.
Zum Zeitpunkt Null wird eine Konzentration von 1.6 angenommen.
Es dauert etwa 24 Stunden, bis alles abgebaut wurde.
Aufgabe 3
Natürlich wird die Aufnahme von Medikamenten und der Abbau derselben gemeinsam starten.
Bildet man die Summe aus beiden Funktionen ergibt sich die dargestellte Funktion.
Erklären Sie was in den Zeiten zwischen Null und 2 Stunden und später geschieht.
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
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Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
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Insert image [ctrl+shift+1]
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[bbcode]
Text tools
Insert Math
In den ersten zwei Stunden wird das Medikament vor allem aufgenommen. Die Konzentration steigt (Aufnahme dominiert). Später wurde die gesamte Medikamentendosis aufgenommen und der Abbau des Medikaments dominiert. Die Summenfunktion nähert sich der Abbaufunktion an.
Aufgabe 4
Mit Hilfe der Schieberegler können bestimmte Einstellungen geändert werden. Welche sind das?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
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Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
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Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Der Parameter b bestimmt wie lange es dauert bis der gesamte Wirkstoff vom Körper aufgenommen wurde. Beziehungsweise wie schnell der Körper den Wirkstoff aufnimmt. Je grösser b, desto rascher wird der Wirkstoff aufgenommen.
Der Parameter a gibt an wie gut der Körper den Wirkstoff abbauen kann. Je grösser a, desto besser kann der Körper den Wirkstoff abbauen und entsprechend weniger lang dauert die Wirkung des Wirkstoffs an.
Aufgabe 5
Stellen Sie die Parameter so ein, dass die Aufnahme und der Abbau von Koffein beschrieben wird (drücken Sie dazu auf den "Koffein"-Knopf).
Angezeigt wird ein roter Punkt P mit seinen Koordinaten. Was sagen die Koordinaten aus?
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
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Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
Insert icons of GeoGebra tools
[bbcode]
Text tools
Insert Math
Die x-Koordinate zeigt den Zeitpunkt an (Zeit, die seit der Einnahme des Wirkstoffs vergangen ist).
Die y-Koordinate zeigt die Aktuelle Wirkstoffkonzentration im Blut an.
Aufgabe 6
Wie lange dauert es gemäss diesem Modell vom Trinken eines Kaffees bis die maximale Koffeinkonzentration im Blut erreicht ist?
Wie lange dauert es, bis kein Koffein mehr im Blut ist?
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Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
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[bbcode]
Text tools
Insert Math
Es dauert etwa 0.91 Stunden, also gut 55 Minuten, bis die maximale Konzentration im Blut nachgewiesen werden kann.
Es ist nicht ganz klar, was es bedeuten soll wann nicht mehr im Blut nachgewiesen werden kann. Von Auge betrachtet ist nach etwa 24 Stunden nichts mehr im Blut (Gemäss diesem Modell beträgt die Konzentration nach 24 Stunden immer noch 0.02).
Aufgabe 7
Versuchen Sie eine Funktionsgleichung für den Abbau zu finden. Versuchen Sie die im Applet eingestellten Parameter zu verwenden.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
Insert table
Remove Format
Insert image [ctrl+shift+1]
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[bbcode]
Text tools
Insert Math
Aufgabe 8
Versuchen Sie eine Funktionsgleichung für die Aufnahme zu finden. Versuchen Sie die im Applet eingestellten Parameter zu verwenden.
Font sizeFont size
Very smallSmallNormalBigVery big
Bold [ctrl+b]
Italic [ctrl+i]
Underline [ctrl+u]
Strike
Superscript
Subscript
Font colorAuto
Justify
Align left
Align right
Align center
• Unordered list
1. Ordered list
Link [ctrl+shift+2]
Quote [ctrl+shift+3]
[code]Code [ctrl+shift+4]
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