Exponentialfunktion
Exponentialfunktion
Table of Contents
- Eigenschaften
- Basis der Exponentialfunktion
- Vertikale Verschiebung
- Horizontale Verschiebung
- Vertikale Streckung /Stauchung
- Horizontale Streckung / Stauchung
- Alle Verschiebungen und Streckungen
- Basis e
- Basisvergleich
- Natürliche Basis
- Eigenschaft mit natürlicher Basis
- Vergleich mit anderen Basen
- Wachstum und Zerfall
- Exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall
- Anwendungsbeispiele
- Medikamente im Blut
Basis der Exponentialfunktion
Hier wird der Einfluss der Basis [math]a[/math] auf die Funktion [math]f(x)=a^x[/math] untersucht.
Aufgabe 1
Gezeichnet ist die Exponentialfunktion [math]f\left(x\right)=1.6^x[/math]. Beschreiben Sie den Verlauf der Kurve. Gehen Sie insbesondere auf dessen Kurvenverlauf im Intervall [math]$\left]-\infty;0\right]$[/math] und im Intervall [math]$\left[0;\infty\right[$[/math] ein.
Aufgabe 2
Mit Hilfe des Schiebereglers lässt sich die Basis [math]a[/math] der Exponentialfunktion [math]f\left(x\right)=a^x[/math] verändern.[br]Vergrössern Sie die Basis und beschreiben Sie wie sich der Funktionsgraph dabei ändert.[br]Beschreiben Sie auch was gleich bleibt und was speziell am Punkt A ist.
Aufgabe 3
Beschreiben Sie analog der obigen Aufgabe was passiert für [math]$a<0$[/math].
Aufgabe 4
Beobachten Sie nun, was für [math]a<0[/math] geschieht. Weshalb wird hier kein Funktionsgraph mehr angezeigt?
Aufgabe 5
Betrachten wir nun noch die Spezialfällt [math]$a=1$[/math] und [math]$a=0$[/math]. Was lässt sich hier sagen?
Basisvergleich
Unten gezeichnet sehen Sie zwei Exponentialfunktionen mit verschiedenen Basen. Wir wollen hier der Frage nachgehen, ob man grundsätzlich jede Exponentialfunktion mit jeder beliebigen (bis auf wenige Ausnahmen) Basis schreiben kann.
Aufgabe 1
Machen Sie sich mit den Schiebereglern vertraut. Was beeinflussen sie?
Aufgabe 2
Wählen Sie zwei beliebige Basen (nicht 1) für die beiden Funktionen.[br]Passen Sie den Faktor k so an, dass die beiden Funktionsgraphen identisch werden. Ist dies immer möglich? Welche Ausnahmen finden Sie? Gibt es mehrere k-Werte, die dies erreichen?
Aufgabe 3
Wie hängen [math]a_1[/math], [math]a_2[/math] und [math]k[/math] mathematisch voneinander ab? Können Sie aus [math]a_2[/math] und [math]k[/math] den Wert für [math]a_1[/math] berechnen?
Exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall
Oft wird die Exponentialfunktion für die mathematische Beschreibung eines Wachstumsprozesses oder eines Zerfallsprozesses eingesetzt. Ein exponentielles Wachstum beziehungsweise ein exponentieller Zerfall zeichnet sich dadurch aus, das im nächsten Zeitschritt der Bestand prozentual zum bestehenden Bestand wächst beziehungsweise sinkt.[br]Beschreibt eine Exponentialfunktion ein solches Wachstum (bzw. Zerfall), dann wählt man als Variable oft eine Zeiteinheit [math]t[/math]. Ausserdem wird auf der Ordinate der Bestand [math]N[/math] angegeben.[br][br]Wir haben bereits gesehen, dass sich jede beliebige Exponentialfunktion mit der Basis [math]e[/math] schreiben lässt. Tatsächlich ist es so, dass sich jede beliebige Exponentialfunktion mit einer beliebigen Basis ([math]a>1[/math]) schreiben lässt. Durchgesetzt haben sich vier Werte, die hier etwas genauer untersucht werden sollen.
Aufgabe 1
Die rote Funktionsgleichung beschreibt den gezeichneten Funktionsgraphen. [br]Was bedeuten die folgenden Variablen und Parameter im Kontext eines exponentiellen Wachstums beziehungsweise eines exponentiellen Zerfalls?[br][math]N\left(t\right)[/math], [math]N_0[/math], [math]a[/math], [math]t[/math]
Aufgabe 2
Eine wichtige Frage bei Exponentiellem Wachstum ist die nach der Verdoppelungszeit [math]T_2[/math]. [math]T_2[/math] sagt aus wie lange es dauert, bis sich ein Bestand verdoppelt hat.[br]Bestimmen Sie die Verdoppelungszeit bein einem Wachstumsfaktor von indem Sie den Punkt N auf dem Graph verschieben.
Aufgabe 3
Betätigen Sie die Checkbox "Verdoppelung anzeigen". Was wird dadurch sichtbar?
Aufgabe 4
Hängt die Verdoppelungszeit vom Startwert [math]N_0[/math] ab?
Aufgabe 5
Verändern Sie den grünen Schieberegler [math]\Delta t[/math]. Es wird ein neuer Punkt im zeitlichen Abstand [math]\Delta t[/math] vom Punkt N gezeichnet. Ausserdem wird unten das Verhältnis der Bestände der beiden Punkte angegeben.[br]Verschieben Sie den Punkt N auf der Funktion und beobachten Sie wie sich das Verhältnis verändert. [br]Was stellen Sie fest? Finden Sie Spezialfälle?
Aufgabe 6
Setzen Sie die Kontruktion wieder zurück in die Ausgangsstellung (Checkbox leer, [math]\Delta t=0[/math]).[br]Verändern Sie die Basis (blauer Schieberegler) um einen Schritt.[br]Wie verändert sich der Funktionsgraph dabei?[br]Betrachten Sie nun die angezeigte Funktionsgleichung und bestimmen Sie die Bedeutung der angegebenen Variablen. [br]
Aufgabe 7
Hat sich die Verdoppelungszeit verändert? Stimmt es immer noch, dass das Verhältnis der Bestände zweier benachbarter Werte konstant bleibt?
Aufgabe 8
Schieben Sie nun den blauen Schieberegler um einen weiteren Schritt weiter. [br]Die Funktionsgleichung verändert sich nun drastisch. Die Basis ändert sich auf den Wert 2. Dafür wird ein neuer Parameter im Exponenten eingeführt.[br]Was bedeutet dieser neue Parameter?
Aufgabe 9
Wie rechnet man von der Verdoppelungszeit auf den Wachstumsfaktor [math]a[/math] oder auf die Wachstumsrate [math]p[/math] um?
Aufgabe 10
Schieben Sie nun den blauen Schieberegler um einen weiteren Schritt weiter.[br]Wieder ändert sich die Basis drastisch. Beschreiben Sie nun die neue Varialbe sowie die Basis.
Aufgabe 11
Setzen Sie nun alle Parameter wieder auf die Starteinstellungen zurück (Refresh - oben rechts).[br]Verändern Sie nun die Werte [math]N_0[/math] und [math]a[/math] so, dass ein Zerfall dargestellt wird.[br]Anstelle der Verdoppelungszeit können Sie sich nun die Halbwertszeit anzeigen lassen. Bestimmen Sie diese erst durch das Verschieben des blauen Punktes N und lassen Sie sich diese erst später anzeigen.[br]Was bedeutet "Halbwertszeit"?[br][br]
Aufgabe 12
Was ist der Unterschied im Wachstumsfaktor und der Wachstumsrate für einen Zerfalls- im Vergleich mit einem Wachstumsprozess.
Aufgabe 13
Was passiert mit der Basis 2 und der Verdoppelungszeit? Die Basis scheint sich grundlegend zu verändern. Erklären Sie.
Aufgabe 14
Was geschieht mit dem Wachstumsfaktor [math]\lambda?[/math]
Aufgabe 15
Frau Listig behauptet, dass man die Verdoppelungszeit ganz einfach abschätzen kann, wenn man weiss um wie viel Prozent sich ein Bestand pro Jahr vermehrt. Sie behauptet man müsse einfach 70 durch diese Prozentzahl teilen und man erhalte (ungefähr) die Verdoppelungszeit.[br]Verifzieren Sie diese Aussage mit Hilfe der Schieberegler. Ab wann stimmt diese Abschätzung nicht mehr so gut?[br][size=85]Hinweis: Beachten Sie, dass Sie die Wachstumsrate in Prozent umrechnen müssen.[/size]
Bemerkungen
Wir haben festgestellt, dass sich jede Exponentialfunktion (ob Zerfall oder Wachstum) mit beliebigen Basen schreiben lässt. Die Wichtigsten Basen sind: (1+p), 2 und e.[br]Je nach Basis gibt es unterschiedliche Parameter, die auf unterschiedliche Eigenschaften der Funktion hinweisen. Wenn man einen dieser Parameter kennt, so lassen sich die anderen damit berechnen, die Berechnungen verlangen jedoch ein Verständnis des Logarithmus. [br]Wichtig sind die korrekten Bezeichnungen der Parameter:[br][list][*]Wachstumsfaktor [math]a[/math][/*][*]Wachstumsrate [math]p[/math][/*][*]Verdoppelungszeit [math]T_2[/math][/*][*]Halbwertszeit [math]T_{\frac{1}{2}}[/math][/*][*]Wachstumsfaktor [math]\lambda[/math](falls [math]\lambda>0[/math])[br][/*][*]Zerfallskonstante [math]\lambda[/math] (falls [math]\lambda<0[/math])[br][/*][/list]
Medikamente im Blut
Nach einem mathematischen Modell werden Medikamente relativ rasch ins Blut aufgenommen. Die Konzentration im Blut steigt entsprechend schnell bis zu einem bestimmten Wert. Der Körper baut das Medikament langsam wieder ab, bis die Konzentration des Medikaments wieder Null beträgt.
Aufgabe 1
Betrachten Sie die angezeigte Funktion, welche die Aufnahme des Medikaments im Blut darstellt.[br]Was zeigt die y-Achse an, was zeigt die x-Achse an? [br]Wie lange dauert es bis die gesamte Medikamentendosis vom Blut aufgenommen wurde?
Aufgabe 2
Betrachten Sie nun den Abbau des Medikaments. Was zeigt die y-Achse und was zeigt die x-Achse an? Wie lange dauert es, bis das Medikament vollständig abgebaut ist?
Aufgabe 3
Natürlich wird die Aufnahme von Medikamenten und der Abbau derselben gemeinsam starten. [br]Bildet man die Summe aus beiden Funktionen ergibt sich die dargestellte Funktion.[br]Erklären Sie was in den Zeiten zwischen Null und 2 Stunden und später geschieht.
Aufgabe 4
Mit Hilfe der Schieberegler können bestimmte Einstellungen geändert werden. Welche sind das?
Aufgabe 5
Stellen Sie die Parameter so ein, dass die Aufnahme und der Abbau von Koffein beschrieben wird (drücken Sie dazu auf den "Koffein"-Knopf).[br]Angezeigt wird ein roter Punkt P mit seinen Koordinaten. Was sagen die Koordinaten aus?
Aufgabe 6
Wie lange dauert es gemäss diesem Modell vom Trinken eines Kaffees bis die maximale Koffeinkonzentration im Blut erreicht ist?[br]Wie lange dauert es, bis kein Koffein mehr im Blut ist?
Aufgabe 7
Versuchen Sie eine Funktionsgleichung für den Abbau zu finden. Versuchen Sie die im Applet eingestellten Parameter zu verwenden.
Aufgabe 8
Versuchen Sie eine Funktionsgleichung für die Aufnahme zu finden. Versuchen Sie die im Applet eingestellten Parameter zu verwenden.