Eine Funktion [math]f\left(x\right)[/math] ist dann quadratisch, wenn in dem Funktionsterm ein Quadrat vorkommt. Analog verläuft das zu den Gleichungen:[br][math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math][br][math]0=ax^2+bx+c[/math][br][br][b]Es muss [math]a\ne0[/math] gelten![/b]
Eine Funktion [math]h\left(x\right)[/math] hat die Parameter: [math]a=2[/math], [math]b=-4[/math] und [math]c=-14[/math].[br][br][b]Bestimme den Funktionsterm.[/b]
Der Parameter [math]a[/math] sagt aus, ob die Parabel gestreckt ([math]\left|a\right|<1[/math]) oder gestaucht ([math]\left|a\right|>1[/math]) bzw. nach oben ([math]a>0[/math]) oder nach unten ([math]a<0[/math]) geöffnet ist.
Welche Aussage kann man über die Parabel treffen?[br][br][math]f\left(x\right)=-2x^2+3[/math]
Der Graph einer quadratischen Funktion heißt [b]Parabel. [/b]Der Graph einer Funktion [math]y=x^2[/math] heißt [b]Normalparabel, [/b]da sie der Graph der "einfachsten quadratischen" Funktion der Welt. ist.
Erstelle eine Wertetabelle für die Funktion [math]y=x^2[/math] und zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem ein.
Was wird wohl der Scheitelpunkt sein? Mach dir Gedanken.[br][br][b]Anm.: Zu 99% wird dir die Antwort als falsch markiert.[/b]
[list][*]Bei [math]a<0[/math] ist der höchste Punkt der Scheitelpunkt.[/*][*]Bei [math]a>0[/math] ist der tiefste Punkt der Scheitelpunkt.[/*][/list]
Verändere den Parameter [math]c[/math] im Grafikrechner - Applet.
[list=1][*]Was ändert der Parameter [math]c[/math]. [/*][*]Erkennst du Parallelen zu linearen Funktionen?[/*][*]Wo liegt der Scheitelpunkt?[/*][/list]
[list=1][*]Er verschiebt die Parabel nur nach oben / unten. Ansonsten ändert er nichts.[/*][*]Hier kann man [math]c[/math] mit [math]t[/math] aus [math]y=mx+t[/math] vergleichen.[/*][*][math]S\left(0\mid c\right)[/math][br][/*][/list]
Wir gucken uns jetzt nochmal lineare Funktionen an. Acht besonders auf die Art des Funktionsterms, wenn du den Graphen nach links / rechts verschiebst.
[b]Übertrage dies jetzt auf quadratische Funktionen:[br][br][/b]Was muss man an einer quadratischen Funktion ändern um sie nach links oder rechts zu verschieben?
Um eine Parabel nach links oder rechts zu verschieben, führen wir eine neue Art von Funktionsterm in Abhängigkeit von [math]d[/math] ein.[br][math]y=\left(x+d\right)^2\Rightarrow y=x^2+2xd+d^2[/math][br][br]Die Parabel ist dann um [math]-d[/math] verschoben.
[size=100]Um Parabeln beliebig zu verschieben muss ein neuer Parameter[br]e zur Scheitelpunktform hinzukommen. Dieser verschiebt um x-[br]verschobene Parabeln zusätzlich nach oben/unten. Soll die Parabel noch gestreckt[br]bzw. gestaucht werden muss der Parameter a verwendet werden.[br][br][center][/center][center][math]y\left(x\right)=a\left(x-d\right)^2+e\Leftrightarrow y\left(x\right)=ax^2+2adx+ad^2+e[/math][/center][br][/size]
Der Scheitelpunkt liegt bei [br][center][math]S\left(-d\mid e\right)[/math].[/center]
Manchmal muss man die Normalform in die Scheitelpunktform bringen (um zum Beispiel die Parabel zu skizzieren).[br]Dazu verwendet man die quadratische Ergänzung.[br][br]Um das anschaulich zu verstehen, siehe die folgendes Video an:
[size=200][size=150][b]Aufgaben zur quadratische Ergänzung[/b][/size][/size]
[math]f\left(x\right)=x^2-6x+7[/math]
[math]y=-2x^2-12x-19[/math]
[size=200][b]Allgemeine Lösungsformel[br][/b][/size]Um quadratische Gleichungen zu lösen bzw. die Nullstellen einer solchen Funktion zu berechnen gibt es folgende Lösungsformel:
Bestimme die Nullstelle(n) der Funktion [math]y=3\left(x+1\right)^2-3[/math].
Im folgenden wollen wir die Nullstellen einer Funktion [math]y=ax^2+bx[/math] ermitteln. Diese kann man nun zu [math]y=x\left(ax+b\right)[/math] umformen. Hier kann man dann die [b]Regel vom Nullprodukt [/b]anwenden.[br][br]Die Nullstellen sind also:[br][list=1][*][math]x=0[/math][br][/*][*][math]ax+b=0\Rightarrow x=-\frac{b}{a}[/math][/*][/list]