Quadratische Funktionen

Was ist eine quadratische Funktion / Gleichung
Eine Funktion [math]f\left(x\right)[/math] ist dann quadratisch, wenn in dem Funktionsterm ein Quadrat vorkommt. Analog verläuft das zu den Gleichungen:[br][math]f\left(x\right)=ax^2+bx+c[/math][br][math]0=ax^2+bx+c[/math][br][br][b]Es muss [math]a\ne0[/math] gelten![/b]
Beispiel
Eine Funktion [math]h\left(x\right)[/math] hat die Parameter: [math]a=2[/math], [math]b=-4[/math] und [math]c=-14[/math].[br][br][b]Bestimme den Funktionsterm.[/b]
Exkurs: Grafische Aussagen über Parabeln treffen.
Der Parameter [math]a[/math] sagt aus, ob die Parabel gestreckt ([math]\left|a\right|<1[/math]) oder gestaucht ([math]\left|a\right|>1[/math]) bzw. nach oben ([math]a>0[/math]) oder nach unten ([math]a<0[/math]) geöffnet ist.
Aufgabe
Welche Aussage kann man über die Parabel treffen?[br][br][math]f\left(x\right)=-2x^2+3[/math]
Video: Einführung und Wertetabelle
Parabel und Normalparabel
Der Graph einer quadratischen Funktion heißt [b]Parabel. [/b]Der Graph einer Funktion [math]y=x^2[/math] heißt [b]Normalparabel, [/b]da sie der Graph der "einfachsten quadratischen" Funktion der Welt. ist.
Aufgabe
Erstelle eine Wertetabelle für die Funktion [math]y=x^2[/math] und zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem ein.
Scheitelpunkt
Was wird wohl der Scheitelpunkt sein? Mach dir Gedanken.[br][br][b]Anm.: Zu 99% wird dir die Antwort als falsch markiert.[/b]
Verschieben einer Normalparabel in y-Richtung
Verändere den Parameter [math]c[/math] im Grafikrechner - Applet.
[list=1][*]Was ändert der Parameter [math]c[/math]. [/*][*]Erkennst du Parallelen zu linearen Funktionen?[/*][*]Wo liegt der Scheitelpunkt?[/*][/list]
Verschiebung in x-Richtung
Wir gucken uns jetzt nochmal lineare Funktionen an. Acht besonders auf die Art des Funktionsterms, wenn du den Graphen nach links / rechts verschiebst.
[b]Übertrage dies jetzt auf quadratische Funktionen:[br][br][/b]Was muss man an einer quadratischen Funktion ändern um sie nach links oder rechts zu verschieben?
Beliebige Verschiebung
[size=100]Um Parabeln beliebig zu verschieben muss ein neuer Parameter[br]e zur Scheitelpunktform hinzukommen. Dieser verschiebt um x-[br]verschobene Parabeln zusätzlich nach oben/unten. Soll die Parabel noch gestreckt[br]bzw. gestaucht werden muss der Parameter a verwendet werden.[br][br][center][/center][center][math]y\left(x\right)=a\left(x-d\right)^2+e\Leftrightarrow y\left(x\right)=ax^2+2adx+ad^2+e[/math][/center][br][/size]
Der Scheitelpunkt liegt bei [br][center][math]S\left(-d\mid e\right)[/math].[/center]
Quadratische Ergänzung
Manchmal muss man die Normalform in die Scheitelpunktform bringen (um zum Beispiel die Parabel zu skizzieren).[br]Dazu verwendet man die quadratische Ergänzung.[br][br]Um das anschaulich zu verstehen, siehe die folgendes Video an:
nochmal eine ausführlichere Erklärung
[size=200][size=150][b]Aufgaben zur quadratische Ergänzung[/b][/size][/size]
Bestimme den Scheitelpunkt mit Hilfe der quadratischen Ergänzung.
[math]f\left(x\right)=x^2-6x+7[/math]
Bringe in die Scheitelpunktform
[math]y=-2x^2-12x-19[/math]
[size=200][b]Allgemeine Lösungsformel[br][/b][/size]Um quadratische Gleichungen zu lösen bzw. die Nullstellen einer solchen Funktion zu berechnen gibt es folgende Lösungsformel:
Einstieg: Die Diskriminante
Herleitung der a-b-c-Formel
Beispiele
Aufgabe
Bestimme die Nullstelle(n) der Funktion [math]y=3\left(x+1\right)^2-3[/math].
Funktionen der Form y=ax²+bx
Im folgenden wollen wir die Nullstellen einer Funktion [math]y=ax^2+bx[/math] ermitteln. Diese kann man nun zu [math]y=x\left(ax+b\right)[/math] umformen. Hier kann man dann die [b]Regel vom Nullprodukt [/b]anwenden.[br][br]Die Nullstellen sind also:[br][list=1][*][math]x=0[/math][br][/*][*][math]ax+b=0\Rightarrow x=-\frac{b}{a}[/math][/*][/list]
Regel vom Nullprodukt
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