La geometria e la matematica che hai studiato negli anni passati ti sono state presentate in modo intuitivo, partendo dall'osservazione di molti casi particolari e poi passando ad una generalizzazione. Questo modo di procedere si chiama [b]ragionamento induttivo[/b].

Anche quando abbiamo affrontato le dimostrazioni in algebra, la prima cosa che facevamo era quella di osservare molti casi particolari.[br]Sommando tre numeri naturali consecutivi ottengo:[br][math]0+1+2=3[/math][br][math]1+2+3=6[/math][br][math]2+3+4=9[/math][br][math]3+4+5=12[/math][br][math]4+5+6=15[/math][br]Mi accorgo che sono tutti multipli di tre. Ipotizzo che, se continuassi allo stesso modo, i risultati delle addizioni sarebbero i multipli di 3 successivi: 18, 21, 24, ...

Questo appena visto è un esempio di ragionamento induttivo che ci porta a formulare un'ipotesi detta anche [b]congettura.[br][br][/b]Le congetture possono essere sia vere che false e, da solo, il metodo induttivo non permette di decidere qual è il valore di verità di una congettura.

Il ragionamento induttivo, però, è importante perché ci permette di scoprire nuove proprietà che potrebbero valere in qualsiasi caso. Per fare affermazioni veritiere e di carattere generale spesso i casi da dover controllare in modo induttivo sono infiniti e non abbiamo modo di osservare tutti gli infiniti casi.[br]Per dimostrare che qualche cosa sia vero dobbiamo affidarci ad un ragionamento che permetta di far vedere come una congettura sia vera o falsa usando dei passaggi logici. Facciamo un esempio:[br][quote]Se indichiamo con [math]n[/math] un generico numero naturale, la somma di tre numeri successivi la posso scrivere così:[br][math]n+\left(n+1\right)+\left(n+2\right)[/math][br]che è uguale a [math]3n+3=3\left(n+1\right)[/math][br]Quindi la somma di tre numeri successivi a partire da un numero naturale [math]n[/math] è [b]sempre[/b] il prodotto di 3 per [math]\left(n+1\right)[/math] che è un multiplo di 3.[/quote]Questo si chiama [b]ragionamento deduttivo[/b] ed è tipico delle [i]dimostrazioni[/i].[br][br]Le affermazioni che si riescono a dimostrare vere, passano da essere delle congetture ad essere dei [b]teoremi[/b].[br]Questi [i]teoremi[/i] sono importanti perché possono essere usati nelle future dimostrazioni semplicemente citandoli e senza doverli dimostrare di nuovo.