Im folgenden Applet wird die [b]Normalprojektion[/b] [math]\vec{b}'[/math] des Vektors [math]\vec{b}[/math] auf [math]\vec{a}[/math] betrachtet.[br]Vergleiche die Skalarprodukte [math]\vec{a}\cdot\vec{b}[/math] und [math]\vec{a}\cdot\vec{b}'[/math] miteinander.[br]([i]Bewege die Spitze von [math]\vec{b}[/math].[/i])
Warum haben die beiden Skalarprodukte den gleichen Wert, wenn der Winkel zwischen [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] a) 0° oder 180°, b) 90° beträgt?
[br]a) Für beide Winkel gilt: [math]\vec{b}'=\vec{b}[/math].[br]b) [math]\vec{b}=\vec{b}'=\vec{o}[/math] und somit [math]\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{b}'=0[/math].
Um die Gleichheit der beiden Skalarprodukte für alle anderen Winkel zu beweisen, betrachten wir den Vektor [math]\vec{c}[/math], der die Spitzen von [math]\vec{b}[/math] und [math]\vec{b}'[/math] verbindet. [br][br](1) Drücke [math]\vec{c}[/math] durch [math]\vec{b}[/math] und [math]\vec{b}'[/math] aus.[br](2) [math]\vec{c}[/math] steht auf [math]\vec{a}[/math] normal. Wende die Orthogonalitätsbedingung an und löse sie nach [math]\vec{a}\cdot \vec{b}[/math] auf.[br]
[br](1) [math]\vec{c}=\vec{b}'-\vec{b}[/math].[br](2) [math]\vec{a}\cdot \vec{c}=0[/math],[br]daraus folgt:[br][math]\vec{a}\cdot\left(\vec{b}'-\vec{b}\right)=0[/math],[br][math]\vec{a}\cdot\vec{b}'-\vec{a}\cdot\vec{b}=0[/math][br]und somit [math]\vec{a}\cdot\vec{b}'=\vec{a}\cdot\vec{b}[/math].
Die gleichen Überlegungen gelten, wenn man [math]\vec{a}[/math] auf [math]\vec{b}[/math] projiziert.[br]Damit ist Folgendes bewiesen:[br][br]Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist gleich dem Skalarprodukt des einen und der Normalprojektion des anderen Vektors.[br][math]\textcolor{blue}\bf\it{\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{b}'=\vec{a}'\cdot\vec{b}}[/math].[br]Das Skalarprodukt ist positiv, wenn [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b'}[/math] (bzw. [math]\vec{b}[/math] und [math]\vec{a'}[/math]) gleich orientiert sind und negativ, wenn sie entgegengesetzt orientiert sind. [br]Das Vorzeichen hängt also davon ab, ob [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] einen spitzen oder einen stumpfen Winkel einschließen.
Für die Beträge gilt dann:[br][math]\left|\vec{a}\cdot\vec{b}'\right|=\left|\vec{a}\cdot\vec{b}\right|[/math][br]Außerdem gilt: [math]\left|\vec{a}\cdot\vec{b}'\right|=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}'\right|[/math], weil [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}'[/math] parallel sind.[br]Daraus folgt: [math]\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}'\right|=\left|\vec{a}\cdot\vec{b}\right|[/math] und somit:[br][math]\textcolor{blue}\bf\it{\left|\vec{b}'\right|=\frac{\left|\vec{a}\cdot\vec{b}\right|}{\left|\vec{a}\right|}}[/math].
Berechne die Beträge der Normalprojektionen von [math]\vec{b}[/math] auf [math]\vec{a}[/math] und von [math]\vec{a}[/math] auf [math]\vec{b}[/math]:[br][math]\vec{a}=\binom{4}{-3},\ \ \vec{b}=\binom{-2}{1}[/math]
[br]Setzt man in die Formel ein, so erhält man:[br][math]\left|\vec{b}'\right|=\frac{\left|4\cdot(-2)+(-3)\cdot 1\right|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{11}{5}=2,2[/math].[br]Analog erhält man:[br][math]\left|\vec{a}'\right|=\frac{\left|4\cdot(-2)+(-3)\cdot 1\right|}{\sqrt{(-2)^2+1^2}}=\frac{11}{\sqrt{5}}\approx 4,9[/math].
Gegeben ist das Parallelogramm PQRS: P = (-4 | 2), Q = (2 | 1), S = (-1 | 5).[br]Berechne die Höhe [math]h_a[/math] und den Flächeninhalt [i]A[/i]. [br][br][i]Bestimme der Reihe nach (Bezeichnungen wie im Applet):[/i][br](1) [math]\vec{a},\ \vec{b}[/math]; (2) [math]\vec{n_a}[/math]; (3) [math]\left|\vec{h_a}\right|[/math]; (4) [i]A[/i].
[br](1) [math]\vec{a}=\overrightarrow{PQ}=\binom{6}{-1},\ \vec{b}=\overrightarrow{PS}=\binom{3}{3}[/math].[br](2) [math]\vec{n_a}=\binom{1}{6}[/math].[br](3) [math]\vec{h_a}[/math] ist die Normalprojektion von [math]\vec{b}[/math] auf [math]\vec{n_a}[/math]:[br][math]\ \ \ \ h_a=\left|\vec{h_a}\right|=\frac{\left|\vec{n_a}\cdot\vec{b}\right|}{\left|\vec{n_a}\right|}=\frac{21}{\sqrt{37}}[/math].[br](4) [math]A=a\cdot h_a=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{h_a}\right|=\sqrt{37}\cdot\frac{21}{\sqrt{37}}=21[/math].[br]
Da [math]\left|\vec{n_a}\right|=\left|\vec{a}\right|[/math] gilt, kann die Formel für den Flächeninhalt vereinfacht werden:[br][math]A=a\cdot h_a=\left|\vec{a}\right| \cdot \frac {\left|\vec{n_a}\cdot\vec{b}\right|} {\left|\vec{n_a}\right|}=\left|\vec{n_a}\cdot\vec{b}\right|[/math].[br]Für [math]\vec{a}=\binom{a_1}{a_2}[/math] und [math]\vec{b}=\binom{b_1}{b_2}[/math] erhält man [math]A=\left|\binom{-a_2}{a_1}\cdot\binom{b_1}{b_2}\right|=\left|-a_2b_1+a_1b_2\right|[/math].[br][br]Für den [b]Flächeninhalt[/b] [i]A[/i] eines Parallelogramms, das von den Seitenvektoren [math]\vec{a}=\binom{a_1}{a_2}[/math] und [math]\vec{b}=\binom{b_1}{b_2}[/math] aufgespannt wird, gilt also:[br][math]\textcolor{blue}\bf\it{A=\left|a_1b_2-a_2b_1\right|}[/math].
[i]Anmerkung:[/i][br]Der Ausdruck zwischen den Betragsstrichen wird als [b]Determinante[/b] der [b]Matrix[/b] [math]\left(\begin{matrix}a_1&b_1\\ a_2&b_2\end{matrix}\right)[/math] bezeichnet: [br][math]det\left(\begin{matrix}a_1&b_1\\ a_2&b_2\end{matrix}\right)=\left|\begin{matrix}a_1&b_1\\ a_2&b_2\end{matrix}\right|=a_1b_2-a_2b_1[/math].[br]Das Vorzeichen der Determinante gibt den [b]Umlaufsinn[/b] ([i]postiv[/i]: gegen den Uhrzeigersinn; [i]negativ[/i]: im Uhrzeigersinn) des Parallelogramms an.