Data l'equazione di secondo grado [center][math]\Large\bf ax^2+bx+c=0[/math][/center]e siano [math]\large\bf x_1[/math] e [math]\large\bf x_2[/math] le sue soluzioni, valgono le seguenti relazioni:[br][center][/center][list][*][math]\large\bf S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}[/math][/*][*][math]\large\bf P=x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}[/math][/*][/list]

Dalla formula risolutiva si ha che:[br][math]\large x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\quad\text{e}\quad x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math][br]Pertanto:[br][math]x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\cancel{+\sqrt{b^2-4ac}}-b\cancel{-\sqrt{b^2-4ac}}}{2a}=-\frac{\cancel{2}b}{\cancel{2}a}=\large\bf -\frac{b}{a}[/math][br][math]x_1\cdot x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{\left(-b+\sqrt{b^2-4ac}\right)\cdot\left(-b-\sqrt{b^2-4ac}\right)}{4a^2}=\frac{b^2-\left(b^2-4ac\right)}{4a^2}=\frac{\cancel{b^2}-\cancel{b^2}+4ac}{4a^2}=\frac{\cancel{4}\cancel{a}c}{\cancel{4}a^{\cancel{2}}}=\large\bf \frac{c}{a}[/math][br][center]________________________________________________________________________________________________________[/center]

Siano [math]\large\bf S[/math] e [math]\large\bf P[/math] rispettivamente la [b]somma[/b] e il [b]prodotto[/b] di [b]due numeri non noti[/b]; l'equazione che ha per soluzioni i due numeri è la seguente:[br][center][math]\Large\bf x^2-Sx+P=0[/math][/center]detta equazione ausiliare del problema di somma e prodotto di due numeri.

Si considera la forma normale di una generica equazione di secondo grado e si dividono entrambi i membri per [b]a[/b], ovvero:[br][math]ax^2+bx+c=0\ \longrightarrow\ \frac{ax^2+bx+c}{a}=\frac{0}{a}\longrightarrow\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0[/math][br]Si può osservare che il coefficiente del secondo termine è l'opposto della somma delle soluzioni, il terzo termine è esattamente il prodotto delle soluzioni; infatti:[br][math]x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\ \longrightarrow\ \ x^2-\left(\textcolor{#28AE61}{-\frac{b}{a}}\right)^{\nearrow^{\Large S}}x+\textcolor{#28AE61}{\frac{c}{a}}^{^{\nearrow^{\Large P}}}=0\ \longrightarrow\ \large\bf \ x^2-S\ x+P=0[/math]