[url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/a78kTk7w]Itt volt szó[/url] az abszolut geometria, ezen belül a hiperbolikus geometria axióma rendszeréről. [br]Többek között beláttuk, hogy az abszolut geometria eszköztárával igazolható, hogy vannak a síkban egymást nem metsző egyenesek.[br][br]Mint említettük, arra a kérdésre, hogy hány olyan egyenes van egy pont és rá nem illeszkedő egyenes síkjában, amely illeszkedik az adott pontra, és nem metszi az adott egyenest, adhatunk olyan választ is, miszerint[u] egy sincs[/u], azaz:[br][list][*][b][i] [/i][color=#980000][i]A sík bármely két pontjára pontosan egy egyenes, és bármely két egyenesére pontosan egy pont illeszkedik.[/i][/color][/b][/*][/list]Ez a kijelentés az elliptikus geometria párhuzamossági axiómája. Ehhez persze módosítani kell a rendezési axiómacsoport fogalmait és axiómáit is. Például [u]nem érvényes[/u] az egy egyenesre illeszkedő három pontra az a kijelentés, hogy [u]három ilyen pont közül egy minden esetben [i]közte[/i] van a másik kettőnek.[/u] Ehelyett azt mondjuk, hogy az (A,B) és (C,D) pontpár egymás[i] elválasztó pontpárja, [/i]ha [i]A[/i]-ból- [i]B[/i]-be csak úgy jutunk el folytonos mozgással, ha eközben a mozgó pont egyszer egybeesik [i]C[/i] és [i]D[/i] egyikével, de a másikával nem. (gondoljunk például arra, hogy a négy pont egy körvonalon van [i]A, C, B, D[/i] vagy [i]A, D, B, C[/i] sorrendben.[br]Az egy egyenesen lévő pontpárok közötti elválasztás, mint reláció szimmetrikus. [br][br]Ebből az is következik, hogy az elliptikus geometriában :[br][list][*][b] [/b][i][color=#980000][b]Az egyenes zárt vonal, amelyet két pontja - mondjuk A és B - az egyenes velük nem egybeeső pontjait két osztályba sorolja, ahol A és B, valamint e két osztályba tartozó egy-egy pont elválasztó pontnégyest alkot.[/b][/color][br][/i][/*][/list][color=#333333]A gömbi geometria G-egyenesei ezt a feltételt teljesítik, az viszont nem teljesül, hogy a gömbfelület bármely két pontjára pontosan egy egyenes illeszkedik. Így a gömbi geometria a megismert formájában nem modellezi az elliptikus geometriát. [/color]

Az imént említett hiányosságot ki tudjuk küszöbölni úgy, hogy a gömbi geometria - jelen esetben a már megismert - G-modell átellenes (un. [i]antipodális[/i]) objektumait [u]azonosnak tekintjük.[/u] [br][br]Bár tudjuk, hogy az egész matematika absztrakciók sorozata, a fenti kijelentésből sokkal szokatlanabb, erősebb absztrakciót igénylő összefüggések következnek, mint amikkel euklideszi, vagy a hiperbolikus geometria megismerése során találkozhattunk. [br][br]Az alábbi appletre tekintsünk úgy, hogy [u] tudunk arról[/u], hogy a gömb felület minden pontja és bármilyen más objektuma azonos az átellenes objektumával. Ugyanakkor [u]nem látjuk[/u], ugyanis - szándékosan -kikapcsoltuk a gömb áttetszőségét, így mindig pontosan egy félgömbfelületet látunk. [br][br]Legyen adott az E-sík két pontja [b][color=#0000ff]A [/color][/b]és [color=#0000ff][b]B[/b][/color] . Ha úgy fordítjuk a gömböt, hogy ezek egyike, vagy mindkettő a nem látható félgömbre kerül, akkor máris megjelenik az antipodálisa. [br][list][*][i][b][color=#980000]Két E-pont a rájuk illeszkedő E-egyenest két[/color] [/b][/i][color=#980000][i][b]részre osztja, az egy-egy részhez tartozó részt E-szakaszoknak nevezünk. [/b][/i][/color][/*][/list][color=#980000][b][i][br][/i][/b][/color]Az így kapott szakaszok mérésére használni fogjuk a gömbi geometriából ismert mértéket: a szakaszok [i]hosszát [/i]egy-egy szöggel mérjük. Eszerint az egy E-egyenesre illeszkedő két szakasz mértéke kiegészítő szögpárt alkot, tehát a szakaszok közül vagy mindkettő derékszög, vagy az egyik hegyes, a másik tompa szög. [br][br][list][*][b][i][color=#980000]Az egyenes véges hosszú, mértéke az egyenesszög. [/color][/i][/b][/*][/list][br]A két szakasz végpontjai [i]elválasztják [/i]egymástól a különböző szakaszok végpontjaira nem illeszkedő pontokat. A félegyenes fogalmát itt nem használhatjuk.[br][br][br][br]Milyen furcsa jelenség jöhet még?

Az A és B pont által meghatározott szakaszokat a fenti appletben színük alapján különböztettük meg.[br][br]Tegyük láthatóvá a két E_szakasz felező merőlegeseit is. Ezek merőlegesen metszik egymást az [b]AB[/b] E-egyenes pólusában. Addig, amíg a G-modellem egy G-egyeneshez két G-pólus tartozott, és két anipodális pontnak egy polárisa volt, itt ez az ellentmondás feloldódott: Minden E-egyenesnek pontosan egy pólusa van, és ez a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű.[br][br] Ugyanez igaz az E-sík köreire is: Bármely E-körnek egy E-középpontja van. A sugara legfeljebb kvadrátnyi lehet. [br][br]A fenti appletet vizsgálva előfordulhat, hogy egy kör helyett egy körívet, és a nem látható résznek az antipodális (átellenes) ívét látjuk., bár[u] tudjuk[/u], hogy ez ugyanaz a kör. Animációval mutatjuk be, hogy egy [b]M[/b] pont körbefut az adott körön. A nézőpontunktól függ, hogy ezt a körforgást pozitív, vagy negatív irányúnak látjuk-e. [br][br][size=85]Bár nem tartozik szorosan a témánkhoz, de az euklideszi eszközökkel is csak az igazolható , hogy az euklideszi sík és tér irányítható: megkülönböztethető két irány, de az, hogy azt nevezzük pozitívnak, amelyik az "óramutató járásával ellentétes", az a matematikán kívüli megállapodás. Ugyanígy relatív az euklideszi távolság-fogalom is.[/size]

Most vegyük szemügyre ismét [url=https://www.geogebra.org/m/ybgxgbqa]az itt megismert[/url] appletet. A különbség "mindössze" annyi, hogy a kapott alakzatok áttetszősége megszűnt, az egymással átellenes (antipodális) pontokat ugyanazzal a betűvel, az átellenes háromszögeket ugyanazzal a színnel jelöltük. [br][br]Az A,B,C pontok mozgatásakor továbbra is kikapcsoltuk a háromszöglapok láthatóságát.

A modell minden háromszögének[u] ugyanaz[/u] az[b] A, B, C[/b] ponthármas a csúcsa. [list][*][i][b][color=#980000]Az E-sík háromszögének nevezzük a három nem kollineáris pontból, és az ezekre illeszkedő három E-egyenesből álló geometriai alakzatot.[/color][/b][/i][/*][/list][color=#333333]Az euklideszi- vagy a hiperbolikus geometriában használt háromszöglap fogalom itt nem használható abban az értelemben, hogy vannak "belső" és "külső" pontok, hiszen ugyanaz a három pont négy háromszöglapot is meghatároz. Ezeket a fenti appletben színeikkel különböztetjük meg. [br][/color]Kimondhatjuk, hogy az így értelmezhető háromszöglapok közül bármely kettőnek van közös éle. Így bármely kettő a modellnek egy gömbkétszöge.[br][br]Mivel a modellen pontosan egy félgömbnyit látunk, ha az[i] A, B ,C [/i]pontok nem esnek a gömb kontúrkörére, midig látunk a modellen egy - és csak egy - háromszöget, amely nem metszi a kontúrkört. Vegyük észre, hogy ugyanazt a háromszöget hol pozitív, hol negatív körüljárásúnak látjuk. Így tapasztalható, hogy :[br][list][*][b][i][color=#980000]Az E-sík nem irányítható felület.[/color][/i][/b][/*][*][b][i][color=#980000]Egy E-egyenes nem választja el a rá nem illeszkedő pontokat, két E-egyenes azonban már igen. [/color][/i][/b][/*][/list][color=#333333]Amíg a G-modellen Két G-egyenes négy gömkétszögre osztotta a gömb felületét, Itt azt mondhatjuk, hogy két E-egyenes két E-gömbkétszöget hoz létre. Ne feledjük: az antipodális gömbkétszögek azonosnak tekintendők. Egy harmadik E-egyenes az előző kettőt két pontban metszi, így ezek a szakaszok már elválasztják az E-gömbkétszög rá nem illeszkedő pontjait.[br][br]Így tehát kimondhatjuk, hogy:[br][/color][list][*][color=#980000][b][i]Az E-sík három általános helyzetű pontja négy háromszöglapot határoz meg.[br][br][/i][/b][/color][/*][*][b][i][color=#980000] Az E-sík minden [/color][color=#333333]P[/color][color=#980000] és Q pontja, amely nem illeszkedik az általuk meghatározott három E-egyenesre, akkor tartozik ugyanahhoz a háromszöglaphoz, ha az általuk meghatározott egyik szakasznak nincs közös pontja a három E-egyenes egyikével sem.[/color][/i][/b][/*][/list]Leszögezhetjük, hogy az elliptikus geometria Gömb modelljének a megismerése komoly szemléletváltást, absztrakciót igényel. Nehéz követni, hogy minden geometriai alakzatnak "ott van" az antipodális "társa" is, és e kettő együtt egyetlen alakzatot jelent.[br][br] Talán könnyít a helyzetünkön, ha az elliptikus geometriát egy félgömbön fogjuk modellezni, ahol egy-egy objektum csak egy "példány"ban lesz jelen.