Integrales iteradasLas integrales dobles son una forma de integrarse en una región bidimensional. Entre otras cosas, nos permiten calcular el volumen bajo una superficie. Esta integral se conoce como una integral doble.Integrales iteradasUna integral iterada es una integral evaluada varias veces sobre la misma variable (en contraste con una integral múltiple, que consiste en un número de integrales evaluadas con respecto a diferentes variables).Es importante tener en cuenta en qué posición se dan los límites de las integrales en cuestión para saber en qué orden se ejecutarán los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va a integrar primero considerando el diferencial dx o el diferencial dy o viceversa.Área de una región en el plano del eje “x”Si la región R está definida por [img width=69,height=14]https://s0.wp.com/latex.php?latex=a+%5Cle+x+%5Cle+b&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img] y [img width=123,height=17]https://s0.wp.com/latex.php?latex=g_1+%28x%29+%5Cle+y+%5Cle+g_2+%28x%29&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img], donde [img width=34,height=17]https://s0.wp.com/latex.php?latex=g_1+%28x%29&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img] y [img width=34,height=17]https://s0.wp.com/latex.php?latex=g_2+%28x%29&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img] son funciones continuas en el eje x del intervalo [a, b]. La región R esta dada por[img width=140,height=45]https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+A+%3D+%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%7B%5Cint_%7Bg_1+%28x%29%7D%5E%7Bg_2+%28x%29%7D%7Bdy%7D+dx%7D&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img][br][img width=736,height=397]https://temasdecalculo2.files.wordpress.com/2018/01/imagen1.jpg?w=736[/img][br]Área de una región en el plano del eje “y”Si la región R está definida por [img width=69,height=16]https://s0.wp.com/latex.php?latex=c+%5Cle+y+%5Cle+d&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img] y [img width=127,height=17]https://s0.wp.com/latex.php?latex=h_1%28x%29+%5Cle+x+%5Cle+h_2%28y%29&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img], donde [img width=36,height=18]https://s0.wp.com/latex.php?latex=h_1+%28y%29&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img] y [img width=36,height=17]https://s0.wp.com/latex.php?latex=h_2+%28y%29&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img] son funciones continuas en el eje x del intervalo [c, d]. La región R esta dada por[img width=142,height=45]https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+A+%3D+%5Cint_%7Bc%7D%5E%7Bd%7D%7B%5Cint_%7Bh_1+%28y%29%7D%5E%7Bh_2+%28y%29%7D%7Bdx%7D+dy%7D&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img][img width=315,height=549]https://temasdecalculo2.files.wordpress.com/2018/01/imagen2.jpg?w=315&h=549[/img][br]Calcular el área de la siguiente gráfica utilizando integrales iteradas dobles.[img width=413,height=386]https://temasdecalculo2.files.wordpress.com/2018/01/imagen3.jpg?w=413&h=386[/img][br]SoluciónSe tomará el área bajo el eje “y”, por lo que la fórmula a utilizar es:[img width=108,height=45]https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cint_%7Bc%7D%5E%7Bd%7D%7B%5Cint_%7Bh_1+%28y%29%7D%5E%7Bh_2+%28y%29%7D%7Bdx%7Ddy%7D&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img]Las funciones en el eje y son: [img width=67,height=17]https://s0.wp.com/latex.php?latex=h_1+%28y%29%3D0&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img] y [img width=67,height=18]https://s0.wp.com/latex.php?latex=h_2+%28y%29%3D8&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img].Y los límites inferior y superior respecto a ese eje son: [img width=37,height=11]https://s0.wp.com/latex.php?latex=c%3D0&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img] y [img width=38,height=12]https://s0.wp.com/latex.php?latex=d%3D3&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img]Sustituyendo todos estos datos en la fórmula[img width=216,height=45]https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cint_%7Bc%7D%5E%7Bd%7D%7B%5Cint_%7Bh_1+%28y%29%7D%5E%7Bh_2+%28y%29%7D%7Bdx%7D+dy%7D+%3D+%5Cint_%7B0%7D%5E%7B3%7D%7B%5Cint_%7B0%7D%5E%7B8%7D%7Bdx%7D+dy%7D&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img]Resolviendo la integral del centro[img width=179,height=41]https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cint_%7B0%7D%5E%7B8%7D%7Bdx%7D+%3D+%5Cleft%5Bx+%5Cright%5D_%7B0%7D%5E%7B8%7D+%3D+8+-+0+%3D+8&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img]Continuando[img width=234,height=41]https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cint_%7B0%7D%5E%7B3%7D%7B%5Cint_%7B0%7D%5E%7B8%7D%7Bdx%7D+dy%7D+%3D+%5Cint_%7B0%7D%5E%7B3%7D%7B8+dy%7D+%3D+8%5Cint_%7B0%7D%5E%7B3%7D%7Bdy%7D&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img][img width=220,height=21]https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%3D+8+%5Cleft%5B+y+%5Cright%5D_%7B0%7D%5E%7B3%7D+%3D+8%283+-+0%29+%3D+8%283%29+%3D+24&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img]Por lo tanto, la figura tiene un área de[img width=65,height=14]https://s0.wp.com/latex.php?latex=A+%3D+24+u%5E2&bg=f1f1f1&fg=666666&s=0&c=20201002[/img]