Functies in één variabele

Paul Verheyen, Apr 28, 2025

Reële functies in één variabele

Table of Contents

  1. Elementaire begrippen
    1. Elementaire voorbeelden
    2. Goniometrische functies
    3. Inverse Relatie
    4. Vervormingen
    5. Caveat Limieten
  2. Domein
    1. Domein Type 1
    2. Domein Type 2
    3. Domein Type 3
    4. Domein Type 4
    5. Domein Type 5
  3. Afgeleiden
    1. Raaklijn
    2. Raaklijnbenadering Grafisch
    3. Raaklijn Algebraïsch
    4. Opgave Vergelijking raaklijn
    5. Afgeleiden met orde 1 en 2
  4. Grafieken
    1. Grafiek 1
    2. Grafiek 2
    3. Grafiek 3
    4. Grafiek 4
    5. Grafiek 5
    6. Grafiek 6
    7. Grafiek 7
    8. Grafiek 8
    9. Grafiek 9
    10. Grafiek 10
  5. Optimalisatie
    1. Optimalisatie 1
    2. Optimalisatie 2
    3. Functie Optimalisatie 2
    4. CAS Optimalisatie 2
    5. Optimalisatie 3
    6. Optimalisatie 4
    7. Optimalisatie 5
    8. Optimalisatie 6
  6. Integralen
    1. Onbepaalde Integraal: berekening
    2. Onder- en bovensommen
    3. Bepaalde Integraal: berekening
    4. Oppervlakte Normaalgebied
    5. Oppervlakte tussen twee grafieken
  7. Eéndimensionale kinematica
    1. EVRB
    2. Illustratie

1.

Elementaire begrippen

  • 1. Elementaire voorbeelden
  • 2. Goniometrische functies
  • 3. Inverse Relatie
  • 4. Vervormingen
  • 5. Caveat Limieten

1.1.

Elementaire voorbeelden

– Paul Verheyen

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

2.

Domein

  • 1. Domein Type 1
  • 2. Domein Type 2
  • 3. Domein Type 3
  • 4. Domein Type 4
  • 5. Domein Type 5

2.1.

Domein Type 1

– Paul Verheyen

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

3.

Afgeleiden

  • 1. Raaklijn
  • 2. Raaklijnbenadering Grafisch
  • 3. Raaklijn Algebraïsch
  • 4. Opgave Vergelijking raaklijn
  • 5. Afgeleiden met orde 1 en 2

3.1.

Raaklijn

Versleep punt B in de richting van A.
– Paul Verheyen

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

4.

Grafieken

We tonen een aantal grafische voorstellingen van functies. We gebruiken daarbij telkens drie vensters: [list] [*]linksbovenaan: een tekenvenster waarin je het voorschrift van een functie kan ingeven en de grenzen voor de assen van de getoonde grafiek linksonderaan kan aanpassen, [*]linksonderaan: een tekenvenster met de getoonde grafiek, [*]rechts: een CAS venster waarin de eerste en tweede orde afgeleiden worden berekend, naast extrema, buigpunten en asymptoten (indien mogelijk in GGB). [/list]

  • 1. Grafiek 1
  • 2. Grafiek 2
  • 3. Grafiek 3
  • 4. Grafiek 4
  • 5. Grafiek 5
  • 6. Grafiek 6
  • 7. Grafiek 7
  • 8. Grafiek 8
  • 9. Grafiek 9
  • 10. Grafiek 10

4.1.

Grafiek 1

– Paul Verheyen

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

4.8.

–

4.9.

–

4.10.

–

5.

Optimalisatie

We illustreren enkele optimalisatieproblemen voor functies in één variabele.

  • 1. Optimalisatie 1
  • 2. Optimalisatie 2
  • 3. Functie Optimalisatie 2
  • 4. CAS Optimalisatie 2
  • 5. Optimalisatie 3
  • 6. Optimalisatie 4
  • 7. Optimalisatie 5
  • 8. Optimalisatie 6

5.1.

Optimalisatie 1

Welke rechthoek met omtrek 20 cm heeft de grootste oppervlakte?
– Paul Verheyen

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

5.6.

–

5.7.

–

5.8.

–

6.

Integralen

  • 1. Onbepaalde Integraal: berekening
  • 2. Onder- en bovensommen
  • 3. Bepaalde Integraal: berekening
  • 4. Oppervlakte Normaalgebied
  • 5. Oppervlakte tussen twee grafieken

6.1.

Onbepaalde Integraal: berekening

– Paul Verheyen

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

6.5.

–

7.

Eéndimensionale kinematica

  • 1. EVRB
  • 2. Illustratie

7.1.

EVRB

Beschouw een punt dat beweegt volgens een rechte, zeg op de X-as. We meten de positievector [math]\vec{P} = \overrightarrow{OP}[/math] t.o.v. een gekozen oorsprong O. Deze positie P heeft als x-coördinaat [math]x[/math]. Deze [math]x[/math] wijzigt in functie van de tijd [math]t[/math].[br]We kiezen steeds voor [math]x(0)=x_0=0[/math].[br][img width=868,height=112]https://feb.kuleuven.be/public/u0003131/WBT23/GGB/GGB_DJS_kinematica/Positievector.png[/img][br]De (ogenblikkelijke) [b]snelheid[/b] wordt gegeven door [math]v(t):=\frac{dx}{dt}(t)[/math] en de (ogenblikkelijke) [b]versnelling[/b] door [math]a(t):=\frac{dv}{dt}(t)=\frac{d^2x}{dt^2}(t)[/math].
[b]Eenparige rechtlijnige beweging[/b][br]Een [i]eenparige rechtlijnige beweging[/i] is een beweging die verloopt met een constante snelheid langsheen een rechte. De versnelling is bijgevolg 0.[br]Indien [math]v[/math] de constante waarde [math]v_0[/math] heeft, dan levert integratie van [math]dx(u)=v_0 \, du[/math] dat [math]x(t) = \int\limits_0^t dx(u) =\int\limits_0^t v_0 \, du = v_0 \, t[/math], d.w.z. [math]x(t)=v_0 \, t[/math].[br][br][b]Eenparige versnelde rechtlijnige beweging[/b][br]Bij een [i]eenparig versnelde rechtlijnige beweging[/i] is [math]a=a_0[/math] constant. Bijgevolg levert integratie op dat[br][math]v(t)=a_0t+v_0[/math] met beginwaarde [math]v(0)=v_0[/math] en [math]x(t) = \frac{a_0}{2} \,t^2 +v_0 \,t [/math].[br][img width=620,height=440]https://feb.kuleuven.be/public/u0003131/WBT23/GGB/GGB_DJS_kinematica/WagenBeweging.png[/img]
Notaties
In plaats van de positiefunctie [math]x[/math] gebruikt men traditioneel de afgelegde weg [math]s[/math] . Er is echter een verschil tussen afgelegde weg en verplaatsing [math]Δx[/math]:  de verplaatsing kan positief, negatief of nul zijn, terwijl de werkelijk afgelegde weg steeds positief is.[br]De letter [math]s[/math] is de eerste letter van het Latijnse woord [i]spatio[/i], wat afstand betekent. De letter [math]v[/math] is afkomstig van het Latijnse woord [i]velocitas[/i], wat snelheid betekent. De letter [math]t[/math] is afkomstig van het Latijnse woord [i]tempus[/i], wat tijd betekent. De letter [math]a[/math] is afkomstig van het Latijnse woord [i]acceleratio[/i], wat versnelling betekent.[br]Het gebruik van Latijn door de grondleggers van de natuurkunde zoals Galilei en Newton komt voort uit het feit dat Latijn de toenmalige wetenschapstaal was.
– Paul Verheyen

7.2.

–

Information