Slovník těles

Šárka Voráčová, Feb 7, 2019

Výukový materiál pro žáky druhého stupně základní školy a žáky střední školy. Základní vlastnosti těles, kreslení sítí, konstrukce modelů, odvození vzorceů pro povrch a objem těles.

Table of Contents

  1. Úvod
    1. Stavby z kostiček
    2. Vyber správné těleso
    3. Hledej geometrická tělesa
    4. Skupina těles
    5. Axonometrický průmět domečku
    6. Tabulka geometrických těles
  2. Krychle
    1. Objekty krychlového tvaru
    2. Úhlopříčky krychle
    3. Obrázek krychle
    4. Rovinný graf krychle
    5. Síť krychle
    6. Hrací kostka
    7. Objem krychle
    8. Řez krychle
    9. Pracovní list
  3. Kvádr
    1. Objekty kvádrového tvaru
    2. Úhlopříčky kvádru
    3. Obrázek kvádru
    4. Kvádr v pravoúhlém promítání
    5. Síť kvádru
    6. Síť pravidelného pětibokého hranolu
    7. Objem kvádru
    8. Pracovní list
  4. Jehlan
    1. Jehlan
    2. Čtyřstěn
    3. Kulová plocha opsaná a vepsaná
    4. Povrch jehlanu
    5. Objem jehlanu
    6. Objem kosého jehlanu
    7. Komolý jehlan
  5. Válec
    1. Rotační válec
    2. Síť válce
    3. Povrch rotačního válce
    4. Cavalieriho princip
    5. Objem kosého válce
    6. Řez válce
  6. Kužel
    1. Rotační kužel
    2. Síť rotačního kužele
    3. Objem kužele
    4. Komolý kužel
  7. Koule
    1. Kulová plocha
    2. Tomografie kulové plochy
    3. Povrch koule
    4. Vztah mezi objemem a povrchem koule
    5. Objem koule
    6. Kulový vrchlík, kulová úseč
    7. Kulová vrstva, kulový pás
  8. Slovník - žáci
    1. Krychle
    2. Osmistěn
    3. Kvádr
    4. Hranol
    5. Jehlan

1.

Úvod

Vymezení pojmu krychle, kvádr, jehlan. Základní pojmy.

  • 1. Stavby z kostiček
  • 2. Vyber správné těleso
  • 3. Hledej geometrická tělesa
  • 4. Skupina těles
  • 5. Axonometrický průmět domečku
  • 6. Tabulka geometrických těles

1.1.

Stavby z kostiček

Velká kostka je poskládaná ze zelených a červených kostiček.
Spočítej, kolik zelených a červených kostiček bylo použito na stavbu.
Vyříznutá kostka
Jaká část zelené krychle chybí
Vyříznutá kostka
Jaká část modré krychle chybí
Kolik kostiček musíš přesunout, aby byly stavby stejné.
Kolik kostiček musíš přesunout, aby byly stavby stejné.
Kolik kostiček musíš přesunout, aby byly stavby stejné.
Kolik kostiček musíš přesunout, aby byly stavby stejné.
– Šárka Voráčová

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

1.6.

–

2.

Krychle

síť krychle, 3d modely, obsah a objem, praktické příklady

  • 1. Objekty krychlového tvaru
  • 2. Úhlopříčky krychle
  • 3. Obrázek krychle
  • 4. Rovinný graf krychle
  • 5. Síť krychle
  • 6. Hrací kostka
  • 7. Objem krychle
  • 8. Řez krychle
  • 9. Pracovní list

2.1.

Objekty krychlového tvaru

Pozorujte na fotografii průmět stěn krychle. Co je obrázkem čtverce?[br]Může se stát, že se čtverec zobrazí jako čtverec? Zkuste načrtnout všechny možnosti fotografie čtverce.
Krychle kolem nás
Krychle je jeden s nejjednodušších a také nejkrásnějších ideálních geometrických objektů. Proto je často používána v architektuře a designu. Najděte nějaký objekt krychlového tvaru, vyfoťte jej a v GeoGebře vyznačte hrany krychle.
Zleva: krystaly pyritu; budova Cube Tube v Číně, kostka ledu
– Šárka Voráčová

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

2.7.

–

2.8.

–

2.9.

–

3.

Kvádr

Základní vlastnosti, síť, povrch a objem.

  • 1. Objekty kvádrového tvaru
  • 2. Úhlopříčky kvádru
  • 3. Obrázek kvádru
  • 4. Kvádr v pravoúhlém promítání
  • 5. Síť kvádru
  • 6. Síť pravidelného pětibokého hranolu
  • 7. Objem kvádru
  • 8. Pracovní list

3.1.

Objekty kvádrového tvaru

Perspektiva na fotografii budovy
City Green Court, Pankrác, Praha
Zleva: Krabice, kostička stavebnice, obal mléčného výrobku
– Šárka Voráčová

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

4.

Jehlan

Definice, objem, povrch

  • 1. Jehlan
  • 2. Čtyřstěn
  • 3. Kulová plocha opsaná a vepsaná
  • 4. Povrch jehlanu
  • 5. Objem jehlanu
  • 6. Objem kosého jehlanu
  • 7. Komolý jehlan

4.1.

Jehlan

[url=https://cs.wikipedia.org/wiki/Jehlan]Jehlan[/url] je těleso, jehož podstavou je mnohoúhelník a boční stěny jsou trojúhelníky se společným vrcholem. Podstavou [color=#0B5394][i]n[/i][/color]-bokého jehlanu je [color=#073763][i]n[/i][/color]-úhelník, plášť se skládá z [color=#0B5394][i]n[/i][/color] trojúhelníků. [br]Kolmý jehlan - kolmice spuštěná z vrcholu k podstavě protíná podstavu v jejím těžišti. [br]Pravidelný jehlan - podstava je pravidelný mnohoúhelník.[br][br][table][br][tr][td][b][color=#073763]n[/color]-boký hranol [/b][/td][/tr][br][tr][td]Počet vrcholů [i]v[/i]: [/td][td][color=#0B5394]n[color=#000000]+1[/color][/color][/td][/tr][tr][td]Počet hran [i]h[/i]:[/td][td][color=#073763]2n[/color][/td][/tr][tr][td]Počet stěn [i]s[/i]:[/td][td][color=#073763]n[/color]+1[/td][/tr][/table][br][url=https://cs.wikipedia.org/wiki/Mnohost%C4%9Bn#Eulerova_v%C4%9Bta]Eulerova věta[/url] udává vztah mezi počtem vrcholů ([i]v[/i]), hran ([i]h[/i]) a stěn ([i]s[/i]) konvexního mnohostěnu:[br][center][math]v+s=h+2[/math][/center]
Pravidelný n-boký jehlan
Egyptské pyramidy
Velká pyramida v Gize má přibližně tvar pravidleného čtyřbokého jehlanu (ve skutečnosti jsou všechny čtyři stěny nepatrně prolomeny). [br]Geometrie celé stavby skrývá různá tajemství, mnohé se můžeme jen domýšlet. Například, možná není náhodou, že poměr výšky pyramidy a strany podstavy je [url=https://cs.wikipedia.org/wiki/P%C3%AD_(%C4%8D%C3%ADslo)]Ludolfovo číslo π[/url]. Číslo π je konstantou určující vztah mezi poloměrem a obvodem kruhu. Egyptská a posléze hlavně Řecká matematika popisovala ideální geometrický svět, znalost ideálních geometrických objektů, jakými jsou kruh či čtverec, byla pro ně zásadní. [br]Sestrojit úsečku stejné délky jako je obvod kružnice [url=https://cs.wikipedia.org/wiki/Eukleidovsk%C3%A1_konstrukce]Eukleidovskou konstrukcí[/url] nelze, až [url=https://cs.wikipedia.org/wiki/Archim%C3%A9d%C3%A9s]Archimédés[/url] (287–212 př. n. l.) určil obvod kruhu vepisováním pravidelných mnohoúhelníků. Je možné, že číslo π stavitelé pyramid znali více než dvě tisíciletí před Archimedem?[br]
Úloha
Posuň neviditelný bod D tak, aby byly všechny neviditelné hrany pyramidy nakresleny správně.
– Šárka Voráčová

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

5.

Válec

  • 1. Rotační válec
  • 2. Síť válce
  • 3. Povrch rotačního válce
  • 4. Cavalieriho princip
  • 5. Objem kosého válce
  • 6. Řez válce

5.1.

Rotační válec

Otáčení obdélníku kolem jeho osy souměrnosti vytvoří rotační válec. Výška válce je rovna délce strany rovnoběžné s osou rotace, poloměr podstav je polovinou zbývající strany obdélníku.
– Šárka Voráčová, Mr. Rose

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

5.6.

–

6.

Kužel

  • 1. Rotační kužel
  • 2. Síť rotačního kužele
  • 3. Objem kužele
  • 4. Komolý kužel

6.1.

Rotační kužel

Kuželová plocha vznikne rotací přímky kolem osy s ní různoběžné. Průsečík tvořící přímky a osy rotace je vrcholem kuželové plochy.[br]Rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem odvěsny vznikne kužel.
Posunem bodů A, V, změníš tvořící trojúhelník.
– Šárka Voráčová

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

7.

Koule

  • 1. Kulová plocha
  • 2. Tomografie kulové plochy
  • 3. Povrch koule
  • 4. Vztah mezi objemem a povrchem koule
  • 5. Objem koule
  • 6. Kulový vrchlík, kulová úseč
  • 7. Kulová vrstva, kulový pás

7.1.

Kulová plocha

Kulová plocha vznikne rotací kružnice kolem osy procházející středem kružnice. Rotací kruhu kolem jakékoliv osy symetrie vznikne koule.
Spusť animaci otáčení.
Kulovou plochu lze v Geogebře sestrojit přímým nástrojem [icon]/images/ggb/toolbar/mode_spherepointradius.png[/icon] anebo jako rotační plochu. V prostředí GeoGebra Klasik 6 můžete 3D model stáhnout jako stl soubor pro 3D tiskárnu a sdílet jej s ostatními prostřednictvím serverů [url=https://sketchfab.com]Sketchfab[/url] anebo [url=https://www.thingiverse.com]Thinginverse[/url]. Ukázka [url=https://skfb.ly/ooVpE]zde[/url].
– Šárka Voráčová

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

7.5.

–

7.6.

–

7.7.

–

8.

Slovník - žáci

Ukázky studentských prací.

  • 1. Krychle
  • 2. Osmistěn
  • 3. Kvádr
  • 4. Hranol
  • 5. Jehlan

8.1.

Krychle

Krychle je platónské těleso duální k osmistěnu. To znamená, že vrcholy krychle jsou ve středech stěn osmistěnu.[br][br][table][tr][td]Počet vrcholů [i]v[/i]: [/td][td]8[/td][/tr][tr][td]Počet hran [i]h[/i]:[/td][td]12[/td][/tr][tr][td]Počet stěn [i]s[/i]:[/td][td]6[/td][/tr][/table][br][url=https://cs.wikipedia.org/wiki/Mnohost%C4%9Bn#Eulerova_v%C4%9Bta]Eulerova věta[/url] udává vztah mezi počtem vrcholů ([i]v[/i]), hran ([i]h[/i]) a stěn ([i]s[/i]) konvexního mnohostěnu:[br][center][math]v+s=h+2[/math][/center]
Síť krychle
Ze šesti správně poskládaných čtverců můžeme slepit krychli. Při vystřihování nezapomeňte na chlopně pro slepení podél hran. Aby se vám podařilo přesně ohnout papír tam, kde potřebujete, je nutné jej před ohýbáním narylovat, tzn. udělat rýhu přesně v místě ohybu.
Vzorce pro délku hrany a
[table][tr][td]Objem[/td][td][math]V=a^3[/math][/td][/tr][tr][td]Povrch[/td][td][math]P=6\cdot a^2[/math][/td][/tr][/table]
Hlavolam tvaru krychle
– Šárka Voráčová

8.2.

–

8.3.

–

8.4.

–

8.5.

–

Information