Schneidet man die [b]Riemann[/b]sche Zahlenkugel [math]x^2+y^2+z^2=1[/math] mit irgendeiner zweiten Quadrik, so erhält man Schnittkurven, die wir [i][b]möbiusgeometrisch[/b][/i] *[size=50]su[/size]) klassifizieren:[br][list][*][i][b]Die Schnittkurve ist 2-teilig[/b][/i]. In dem Quadrikbüschel aus [color=#cc0000][i][b]Kugel[/b][/i][/color] und [color=#073763][i][b]Quadrik[/b][/i][/color] liegen 4 Kegel, deren Kegelspitzen ein Polar-Tetraeder der Kugel bilden. Die Kegelspitzen können unendlich fern sein, die zugehörigen Kegel erscheinen dann als Zylinder. Die Schnittkurve besitzt 4 paarweise orthogonale [color=#f1c232][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color], von denen einer imaginär ist: die zugehörige Kegelspitze liegt innerhalb der Kugel. Im Ausartungsfalle besteht die Schnittkurve aus zwei Kreisen. In dem Quadrikbüschel liegen dann Ebenen-Paare. Die Schnittkurve, eine [i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i], besitzt 4 konzyklische [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color], und sie ist einer der konfokalen Quartiken mit diesen Brennpunkten.[/*][*][i][b]Die Schnittkurve ist 1-teilig[/b][/i]. Im Quadrikbüschel liegen nur zwei reelle Kegel, die Quartik besitzt nur zwei, zueinander orthogonale [color=#f1c232][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color]. Die Kurven besitzen ebenfalls 4 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color], diese liegen symmetrisch auf den beiden Symmetrie-Kreisen, dh. die Spiegelungen an diesen Kreisen läßt [color=#00ff00][color=#000000]jeweils 2 [/color][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] fest und vertauscht die anderen beiden. [br][/*][*][i][b]Die Schnittkurve besitzt einen Doppelpunkt auf der Kugel[/b][/i]. Im Quadrikbüschel liegt ein Kegel, der diesen Doppelpunkt als Spitze besitzt. Wählt man diesen als [math]\infty[/math] für die stereographische Projektion, so erweist sich die Kurve in der [b]Gauss[/b]schen Zahlenebene [math]\mathbb{C}[/math] als Kegelschnitt mit 2 [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color] und [math]\infty[/math] als doppelt zählendem fernen Brennpunkt: [i][b]Ellipse[/b][/i] oder [i][b]Hyperbel[/b][/i], oder mit einem [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] und [math]\infty[/math] als 3-fach zählendem fernen Brennpunkt: [i][b]Parabel[/b][/i]. [br][/*][/list][size=85][br]Projiziert man eine solche Schnittkurve [color=#ff7700][i][b]stereographisch[/b][/i][/color] in die [i][b]GAUSS[/b][/i]sche Zahlenebene [math]\mathbb{C}[/math], so ergibt sich eine [color=#980000][i][b]bizirkulare Quartik[/b][/i][/color], das ist eine Kurve 4.-ter Ordnung mit einer Gleichung des Typs [br][/size][list][*][size=85] [/size][math]q(z)=\alpha_1\cdot \left(z\bar z\right)^2+\left(\alpha_2\cdot x+\alpha_3\cdot y\right)\cdot z\bar z+\alpha_4\cdot x^2+\alpha_5\cdot y^2+\alpha_6\cdot xy+\alpha_7\cdot x+\alpha_8\cdot y+\alpha_9=0[/math] [size=85]mit[/size] [math]\alpha_1,\,...\,,\alpha_9\in\mathbb{R}[/math][br][/*][/list][size=85]Zu[/size][size=85] diesen Kurven gehören die [color=#980000][i][b]Produkte[/b][/i][/color] aus 2 [color=#ff7700][i][b]Kreisgleichungen[/b][/i][/color] ([math]\hookrightarrow[/math] [color=#980000][i][b]bizirkular[/b][/i][/color]!), [b]CARTESISCHE[/b] Ovale - das sind [color=#980000][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color] auf welchen [math]\infty[/math] liegt, [b]CASSINI[/b]-Kurven (die Determinante der zugehörigen [b]HERMITE[/b]schen Abbildung verschwindet!),[br]und last not least gehören die [color=#980000][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] und ihre Bilder unter [b]MÖBIUS[/b]-Transformationen dazu![br]Nicht unerwähnt [/size][size=85]bleibe hier, dass diese [color=#980000][i][b]Kurven[/b][/i][/color] stets in einer konfokalen Kurvenschar auftreten - sie lassen sich als die Kurven [math]x=const[/math] [/size][size=85]und [math]y=const[/math] einer geeigneten komplex-differenzierbaren Funktion [math]f\left(z\right)=f\left(x+i\cdot y\right)[/math] beschreiben.[br]Charakteristisch für diese Funkionen ist, dass sie einer [color=#274E13][i][b]elliptischen Differentialgleichung[/b][/i][/color] des Typs [list][*][math]f'^2=c\cdot\left(f-e_1\right)\cdot\left(f-e_2\right)\cdot\left(f-e_3\right)\cdot\left(f-e_4\right)[/math] genügen; die komplexen Punkte [math]e_1,..,e_4[/math] sind die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color]![br][i][b][size=85][/size][/b][/i][/*][/list][i][b][br]Die Begündung soll hier nur angedeutet werden: [/b][/i][/size][size=85]Die [i][b]Kugel[/b][/i][/size][size=85] ist im 3-dimenionalen projektiven Raum, dem ein 4-dimensionaler reeller Vektorraum zugrunde liegt, eine Quadrik der Signatur [math]\left(+,+,+,-\right)[/math] ([i][b]Möbius-Bilinearform[/b][/i]).[/size] [size=85][i][b]Kreise[/b][/i] in der Möbiusebene sind Schnitte der Kugel mit Ebenen. Eine zweite Quadrik ist durch eine zweite symmetrische Bilinearform gegeben, dazu gehört eine bezüglich der Möbiusform symmetrische selbst-adjungierte Abbildung (4+3+2+1 verschiedene Koeffizienten!)[/size][size=85]. Für einem Eigenraum dieser Abbildung ist auch der bezüglich der Möbiusform orthogonale Raum ein Eigenraum. [/size][size=85]Hieraus ergibt sich die obige Klassifikation:[/size] [br][size=85] - 4 paarweise orthogonale Eigenvektoren,[br] - 2 orthogonale Eigenvektoren und ein dazu orthogonaler Eigenraum ohne reelle Eigenvektoren,[br] - oder mindestens ein isotroper Eigenvektor, also ein Fixpunkt auf der Kugel. [/size][br][br][b]*)[/b] [size=85][i][b]möbiusgeometrisch bedeutet[/b][/i]: es interessieren zunächst nur [i][b]Punkte[/b][/i], [i][b]Kreise[/b][/i] und ihre [i][b]Beziehungen[/b][/i] untereinander; das sind: [i][b]Winkel[/b][/i] zwischen Kreisen, insbesondere [i][b]Orthogonalität[/b][/i].[/size][br][br][size=50][right][color=#980000]Dieses Arbeitblatt ist Teil des [b]geogebra-books[/b] [url=https://www.geogebra.org/m/s2797fyc]Kugel-Kegel-Schnitte[/url] (August 2018 Autor: W.F.).[/color][br]Siehe auch das [b]geogebra-book[/b] [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh]Kegelschnitt-Werkzeuge[/url].[/right][/size][size=100][size=85]Genauer werden die Zusammenhänge im [color=#cc0000][i][b]ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle3.png[/icon]gebra-book[/b][/i][/color] [color=#0000ff][b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Möbiusebene[/url][/b][/color] untersucht![/size][/size]

[size=85]Betrachtet man die Quadrik-Schnitte in den [color=#f1c232][b]Symmetrie-Ebenen[/b][/color], also in den Polarebenen der Kegelspitzen, so kann man die Klassifizierung wie folgt verfeinern:[br][list][*][i][b]Zweiteilig[/b][/i]: es gibt eine Symmetrie-Ebene, in welcher der Symmetriekreis von der Schnittkurve in 4 verschiedenen [i][color=#ff7700][b]Punkten[/b][/color][/i] geschnitten wird. Der Symmetriekreis und der Kegelschnitt in der Symmetrieebene besitzen 4 gemeinsame [color=#00ff00][i][b]Tangenten[/b][/i][/color]. Die Tangenten-Berührpunkte sind die [i][b][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/b][/i] der Schnittkurve. Die Schar der Quartiken mit denselben [i][b][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/b][/i] erzeugt auf der Zahlenkugel und damit in der [b]Gauss[/b]schen Zahlenebene eine [i][b]konfokale Schar[/b][/i] von bizirkularen Quartiken. Man bewege den [color=#ff7700][i][b]Berührpunkt[/b][/i][/color] des Kegelschnitts auf der [color=#00ff00][i][b]gemeinsamen Tangente[/b][/i][/color]. Eingezeichnet sind die drei [i][b][color=#0000ff]Leit-Kreise[/color][/b][/i] der Schnittkurve.[br][i][b]Bemerkung[/b][/i]: Geraden in der Symmetrie-Ebene sind Kreise, die orthogonal zum Symmetriekreis liegen.[/*][*][size=85][i][b]Einteilig mit 4 verschiedenen Brennpunkten[/b][/i]: zwei liegen auf dem Symmetriekreis, die beiden anderen fallen in der Projektion zusammen. Auch hier gibt es eine konfokale Schar von Schnittkurven mit den angezeigten [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten. [/b][/i][color=#000000]Es gibt zwei [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color] zu einem vorgegebenen Brennpunkt, der zweite Leitkreis zeigt sich bei der Projektion auf die 2. Symmetrie-Ebene.[/color][/color][/size][/*][*][size=85] [i][b]Zusammenfallende Brennpunkte[/b][/i]: von diesem aus stereographisch projiziert erhält man einen Kegelschnitt. Im Applet unten sind die Situationen mit zusammenfallenden Brennpunkten als Grenzfälle angezeigt. [list][*][i][b]Zwei einfache und ein doppelt-zählender [/b][/i][color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color]. Es gibt 2 orthogonale [color=#f1c232][i][b]Symmetriekreise[/b][/i][/color], und zu jedem einfachen Brennpunkt gibt es zwei [color=#0000ff][i][b]Leitkreise[/b][/i][/color]. Ist der doppelt-gezählte Brennpunkt [math]\infty[/math], so ist einer der beiden Leitkreise die [color=#0000ff][i][b]Leitgerade[/b][/i][/color] des Kegelschnitts. Die [color=#ff0000][i][b]Brenngeraden[/b][/i][/color] sollen andeuten, dass die Brennlinien, also die Kreise, die durch Brennpunktpaare und einen Kurvenpunkt gehen, Winkelhalbierende der Schnittkurve sind: die Tangente halbiert den Winkel zwischen den Brennlinien. Vom 2-fach zählenden [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] stereographisch projiziert erhält man eine [i][b]Ellipse[/b][/i] oder eine [i][b]Hyperbel[/b][/i].[br][/*][*][i][b]Ein einfacher und ein dreifach-zählender[/b][/i] [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color]. Es gibt nur einen [color=#f1c232][i][b]Symmetriekreis[/b][/i][/color], und nur einen [color=#0000ff][i][b]Leitkreis[/b][/i][/color]. Stereographisch vom 3-fach zählenden [color=#00ff00][i][b]Brennpunkt[/b][/i][/color] projiziert, erhält man eine [i][b]Parabel[/b][/i].[/*][br][/list][/size][/*][/list][/size]