[right][size=85][size=85][size=85][size=50](11.02.2019) Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks[color=#980000][b] [url=https://www.geogebra.org/m/mQgUFHZh]Kegelschnitt-Werkzeuge[/url][/b][/color][/size][/size][/size][/size][/right][size=85]Die konfokalen Kegelschnitte mit den Brennpunkten [color=#00ff00][b]F = (1,0)[/b][/color] und [color=#00ff00][b]F[sub]2[/sub] = (-1,0)[/b][/color] bilden ein [i][b]orthogonales Kurvennetz[/b][/i]. Gespiegelt am [color=#ff0000][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color] erhält man ebenfalls ein [i][b]orthogonales Kurvennetz[/b][/i]. Die einzelnen Kurven sind [color=#00ffff][i][b]bizirkulare Quartiken[/b][/i][/color], die im Ursprung einen Doppelpunkt besitzen. Diesen kann man auch als einen doppelt-zählenden [i][color=#00ff00][b]Brennpunkt[/b][/color][/i] auffassen.[br]Die Kurven sind Integralkurven der elliptischen Differentialgleichung[br][/size][list][*][size=85][math]\left(g'\right)^2=g^2\cdot\left(1-g^2\right)[/math][br][/size][/*][/list][size=85]für welche [/size][math]g\left(z\right)=\frac{1}{sin\left(z\right)}[/math] [size=85]eine Lösung ist. Die Nullstellen [math]e_{1\slash2}=0,e_{3\slash4}=\pm1[/math] sind die [color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color] der Kurvenschar.[br]Die [i][b]konfokalen Kegelschnitte[/b][/i] selber sind Lösungskurven der elliptischen Differentialgleichung [math]\left(f'\right)^2=1-f^2[/math], für die [math]f\left(z\right)=sin\left(z\right)[/math] eine Lösung ist.[br]Gezeichnet wurden die Kurven mit diesen Parameter-Funktionen:[br] [math]t\mapsto g\left(t+i\cdot s\right)[/math] mit [math]t,s\in\mathbb{R}[/math] und [math]s=const[/math] [br]bzw. [math]s\mapsto g\left(t+i\cdot s\right)[/math] mit [math]t=const[/math]. Entsprechend für die Kegelschnitte mit [math]f\left(z\right)[/math].[br][br]Betrachtet man die Kreise der Kreisbüschel durch[color=#00ff00][b] F[/b][/color] und [color=#00ff00][b]F[/b][/color][math]_{\infty}[/math], bzw. durch [color=#00ff00][b]F[sub]2[/sub][/b][/color] und [color=#00ff00][b]F[/b][/color][math]_{\infty}[/math], so zeigt sich: die [color=#00ffff][i][b]Lösungskurven[/b][/i][/color] sind [i][b]Winkelhalbierende[/b][/i] dieser Kreise in deren Schnittpunkten.[br]Dasselbe gilt aber auch für die Kreise des Kreisbüschels durch [/size][size=85][color=#00ff00][b]F[/b][/color][/size][size=85] und [color=#00ff00][b]F[sub]2[/sub][/b][/color] einerseits und die Kreise, die die [math]x[/math]-Achse im Ursprung berühren.[br]Wir nennen diese Kreise im Applet "[color=#ff0000][i][b]Brennkreise[/b][/i][/color]".[/size]