Στη δραστηριότητα που ακολουθεί εξετάζουμε το πρόβλημα:[br][i]"[b]Από όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με σταθερή υποτείνουσα α, ποιο έχει το μέγιστο εμβαδόν"[/b] με [/i]γεωμετρική διατύπωση ή [i][b]"από όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς με σταθερό άθροισμα τετραγώνων, ποιοι έχουν το μέγιστο γινόμενο"[/b] [/i]με αλγεβρική διατύπωση [i].[br][/i][list][*]Στο 1ο παράθυρο, εμφανίζεται το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με κάθετες πλευρές β και γ, ένας δρομέας α που ορίζει το μήκος της υποτείνουσας και ένα ορθογώνιο με πλευρές β και γ. [/*][*]Στο 2ο παράθυρο, εμφανίζεται ένα σημείο Ρ με συντεταγμένες (γ, βγ)[/*][/list]

[b][color=#1e84cc][size=150]Πειραματισμός [/size][/color][/b][br][br]Αρχικά διατυπώστε συμβολικά το πρόβλημα με χρήση των πλευρών α,β και γ.[br][list][*]Τί εκφράζει το γινόμενο [math]β\cdotγ[/math] για το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και το ορθογώνιο τ;[/*][/list][br]Σύρετε το σημείο Β σε διάφορες θέσεις και παρατηρήστε την καμπύλη που διαγράφει το σημείο Ρ.[list][*]Από τη μορφή της καμπύλης του σημείου Ρ, μπορείτε να εικάσετε αν και πότε το γινόμενο [math]β\cdotγ[/math] λαμβάνει μέγιστη τιμή;[/*][*]Πατήστε το κουμπί "max" για να συγκρίνετε τα ευρήματά σας.[/*][*]Τί φαίνεται να ισχύει τότε για το ορθογώνιο τ;[/*][*]Ποια εικασία μπορούμε να διατυπώσουμε σχετικά με το αρχικό μας ερώτημα; [/*][/list]

[b][color=#1e84cc][size=150]Σύνταξη Απόδειξης[/size][/color][/b]

Ανοίξτε το διακόπτη "1η αναπαράσταση". Εμφανίζεται η γραφική παράσταση του τριωνύμου [math]q\left(x\right)=x^2-α^2x+4Ε^2[/math][br][br][list][*]Σύρετε το σημείο Β σε διάφορες θέσεις.[/*][*]Τί παρατηρείτε για τις σχετικές θέσεις της παραβολής q με τον άξονα xx΄ ;[/*][*]Αξιοποιήστε το συμπέρασμα που προκύπτει από την προηγούμενη παρατήρηση για να συντάξετε την απόδειξη της εικασίας σας. [/*][/list]

[b][color=#1e84cc][size=150]Αλγεβρική Απόδειξη[/size][/color][/b]

[b][color=#1e84cc][size=150]Γεωμετρική Απόδειξη[br][/size][/color][/b][br]Ανοίξτε το διακόπτη «2[sup]η[/sup] Αναπαράσταση».[br]Εμφανίζεται το ημικύκλιο διαμέτρου ΒΓ και το (επίσης) εγγεγραμμένο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΛΓ εντός αυτού, όπου ΛΜ είναι [b]μεσοκάθετος [/b]της ΒΓ και το ΑΝ ύψος του τριγώνου ΑΒΓ. Σύρετε το σημείο Β σε διάφορες θέσεις.

[list][*]Τί παρατηρείτε για τη σχέση των τμημάτων ΑΝ και ΛΜ;[/*][*]Χρησιμοποιώντας ως γνωστή τη σχέση που ισχύει σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο: [math]β\cdotγ=α\cdotυ_α[/math] να αξιοποιήσετε αυτά τα στοιχεία για την απόδειξη της εικασίας σας. [/*][/list][br]Απόδειξη:[br][br]Για κάθε θέση του σημείου Α θα ισχύει ότι: [math]ΑΝ\leΛΜ[/math] με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν το Α ταυτιστεί με το μέσο Λ του ημικυκλίου. Τότε, επειδή: [br][br][math]βγ=α\cdotΑΝ\leα\cdotΛΜ\LongrightarrowΕ\le\frac{α\cdotΛΜ}{2}[/math][br]Το εμβαδόν Ε μεγιστοποιείται, αν και μόνο αν το Α ταυτιστεί με το Λ, δηλαδή όταν το τρίγωνο είναι [b]ισοσκελές[/b].[br][br]

[size=150][b][color=#1e84cc]Επέκταση δραστηριότητας[/color][/b][/size][br][br]1. Η γραμμή που διαγράφει το σημείο Ρ(γ,βγ), "φαίνεται" να ομοιάζει με [b]παραβολή[/b]. Μπορείτε να ελέγξετε αν πρόκειται πράγματι για παραβολή; [br][br][size=85][i](Θα χρειαστεί να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης που περιγράφει τη συμμεταβολή της μεταβλητής τ=βγ συναρτήσει της πλευράς γ)[/i][/size][br]