Herleitung: Das Volumen einer Pyramide

INHALT DER STUNDE

[b]Mithilfe dieses Applets sollst du dir die Formel für das Volumen einer Pyramide Schritt für Schritt herleiten. Folge dazu den nachfolgenden Anweisungen.[br][/b]

EINSTIEG: Volumen des abgebildeten Prismas

[size=85][size=100][b]Sieh dir die Darstellung unten an. [br]Gib die Formel zur Berechnung des Volumens des dort abgebildeten Prismas an[/b].[br][br]Die [u]Grundfläche ist ein Quadrat[/u]. Beachte dabei die Beschriftung der Seitenkanten des Prismas (Hinweis: Den Malpunkt kannst du als Sternchen darstellen)[/size][br][/size]

Zusammenhang zwischen Prisma und Pyramide

[size=85][size=100][b]Aktiviere oben im Bild das Kästchen "Pyramiden"[/b]. [br][br]Du kannst das Prisma auch bewegen und mit Hilfe des Schiebereglers zerlegen. [br][br]In wie viele Pyramiden lässt sich der abgebildete Würfel zerlegen? Gib die Anzahl an.[/size][br][br][/size]

2 6 3 1 4 5

Haben die Zerlegungs-Pyramiden Gemeinsamkeiten?

Sieh dir die Pyramiden im Bild genau an.[br] [br][b]Entscheide, ob sie Gemeinsamkeiten besitzen:[/b]

Sie haben die gleiche Grundfläche, die gleiche Höhe und somit gleiches Volumen. Sie haben keine Gemeinsamkeiten. Sie haben nur die gleiche Höhe. Sie haben nur die gleiche Grundfläche. Sie unterscheiden sich in allem, außer im Volumen.

Zerlegung von weiteren Prismen

[size=85][size=100][color=#6aa84f][b]Das Prisma lässt sich also in drei volumengleiche Pyramiden zerlegen. [/b][/color][br][br][b]Dies gilt im Übrigen für jedes Prisma[/b] - Wenn du dir die nächste Darstellung ansiehst, ist dort ein dreiseitiges Prisma zerlegt worden: [br][list][*]Du kannst die gesamte Zeichenebene bewegen.[br][/*][*]Du kannst die grünen und gelben Pyramiden an den Eckpunkten bewegen. [/*][*]Die rote Pyramide kannst du an den Eckepunkten in Größe und Aussehen ändern. Beobachte, was dabei mit den anderen Pyramiden passiert.[/*][*]Kannst du das Prisma wieder zusammensetzen?[br][/*][/list][/size][br][/size]

BERECHNUNGSFORMEL FÜR DIE PYRAMIDE

[size=85][size=100]Das Prisma lässt sich also in drei volumengleiche Pyramiden zerlegen. [br][br][b]Wähle aus, welche der folgenden Formel also für eine Pyramide gelten muss:[/b][/size][br][/size]

[math]V=\frac{1}{2}\cdot G\cdot h[/math] [math]V=G\cdot h[/math] [math]V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h[/math] [math]V=a\cdot b\cdot c[/math]

ARBEITSBLATT

[b][br][/b][size=100][b]Hole dir das AB [/b]vorne am Pult und [b]fülle nun den ersten Teil [/b](siehe Bild) mit dem erarbeiteten Wissen aus.[/size]

Du bist schon fertig?

[b]Sieh dir folgende Darstellung an. [/b][br][br]Mit dem [b]Schieberegler kannst du die Höhe und die Grundfläche der abgebildeten Körper verändern[/b]. Wie du sehen kannst, bleubt bei beiden die Grundfläche gleich und das Volumen der Pyramide ist bei gleicher höher des Quaders immer ein Drittel vom Quader-Volumen.