[b]Fall 1[/b]: Wenn der Grad der Nennerfunktion [b][i]größer[/i][/b] ist, als der Grad der Zählerfunktion, dann spricht man von [b][color=#980000]einer echt gebrochenen Funktion[/color][/b].[br]Geht [math]x\to+\infty[/math] oder [math]x\to-\infty[/math] , dann geht der Funktionswert einer echt gebrochenrationalen Funktion gegen Null, d.h. Der Funktionsgraf schmiegt sich der Abs­zisse an. [br][br][b]Fall 2[/b]: Ist der Grad der Nennerfunktion [b][i]gleich[/i][/b] dem Grad der Zählerfunktion, dann schmiegt sich der Funktionsgraf einer waagerechten Asymptote an, d.h. Einer waagerechten Linie in Koordinatensystem, die nicht die Abszisse ist.[br][br][b]Fall 3[/b]: Wenn der Grad der Nennerfunktion kleiner ist, als der Grad der Zählerfunktion, dann spricht man von einer unecht gebrochenen Funktion. Unecht gebrochene Funktionen nähern sich für große Beträge von [math]x[/math] einer ganzrationalen Funktion an. So eine Näherungsfunktion nennt man [b][color=#980000]Asymptotenfunktion[/color][/b].[br]Wenn in diesem Fall das Grenzverhalten [b][i]nur näherungsweise[/i][/b] bestimmt werden soll, dann reicht es, von der Zähler- und der Nennerfunktion in Polynomdarstellung nur die Terme mit den jeweils höchsten Exponenten in [math]x[/math] anzusehen. [br][br]Beispiel: [math]f(x)=\frac{{3x^3}-2x^2+x-5}{x-2}[/math][br]Hier gilt: [math]\lim_{x \to \infty}\frac {\fgcolor{#AA0000}{3 x^3}- 2 x^2 + x – 5}{\fgcolor{#AA0000}{x} - 2} = [br]\lim_{x \to \infty}\frac {3 x^3}{x} = 3 x^2[/math][br][br]Die Assymptotenfunktion von [math]f(x)[/math] lautet also näherungsweise [math]A_f(x)=3\,x^2[/math][br][br][b][color=#0000ff]InProbieren Sie alle Fälle aus, in dem Sie sich Funktionen für die Fälle 1 bis 3 überlegen und sich in Geogebra deren Funktionsgrafen ansehen.[/color][/b][br][br]Im folgenden Geogebra-Applet können Sie Nullstellen und Polstellen von Kommata getrennt in die Eingabefelder eingeben. Wenn Sie mehrere Male den gleichen Wert eingeben, erhalten Sie mehrfache Nullstellen in den Zähler- und Nennerpolynomen:[br]