0

This activity is also part of one or more other Books. Modifications will be visible in all these Books. Do you want to modify the original activity or create your own copy for this Book instead?

This activity was created by '{$1}'. Do you want to modify the original activity or create your own copy instead?

This activity was created by '{$1}' and you lack the permission to edit it. Do you want to create your own copy instead and add it to the book?

Modelagem Matemática com EDO

Sergio Herman Bastos Lima, Sep 5, 2023

Livro de Atividades - Calculo II - Modelagem Matemática com EDO O livro de atividades apresenta Applets com gráficos interativos que facilitam a visualização do comportamento de diversos sistemas, e um questionário para estimular o raciocínio e a interpretação acerca dos fenômenos apresentados. Essas ferramentas permitem a observação das inter-relações entre propriedades, proporcionando uma compreensão mais profunda do processo de modelagem matemática. Reconhecendo a grande importância da modelagem matemática em diversas áreas do conhecimento, o conteúdo é abordado de maneira prática, estimulando o pensamento crítico na formulação de modelos para explicar cientificamente fenômenos específicos. Os temas abordados incluem crescimento populacional sem restrição, queda livre com arrasto, fenômenos transitórios em soluções químicas e o sistema massa-mola-amortecedor.

1. 01 - Crescimento Populacional (20 min)
2. 02 - Queda Livre com Arrasto (35 min)
3. 03 - Massa-Mola-Amortecedor (35 min)
4. 04 - Transiente em Soluções Químicas (20 min)

Information

1.

01 - Crescimento Populacional (20 min)

Se crescimento de uma população com o passar do tempo (

) tem uma relação linear com o número atual de indivíduos (

) então podemos modelar o tamanho da população com uma equação diferencial. O gráfico abaixo mostra o crescimento de uma população que se comporta desta maneira. É possível alterar o número inicial de indivíduos (

) e a constante de proporcionalidade (

). Também é possível obter o número de indivíduos em qualquer instante de tempo arrastando o

que sobrepõe a curva.

QUESTÃO 01:

Dos elementos que foram apresentadas no Applet, alguns apresentam uma importante relação que determina a equação que modela o problema de acordo com o texto apresentado anteriormente. Quais são estes elementos?

Número inicial de indivíduos

, Número de indivíduos em um instante de tempo qualquer, Inclinação da reta tangente à curva neste mesmo instante tempo. Número inicial de indivíduos

, Taxa de crescimento

, Número de indivíduos em um instante de tempo qualquer, Inclinação da reta tangente à curva neste mesmo instante tempo. Constante de proporcionalidade

, Número de indivíduos em um instante de tempo qualquer, Inclinação da reta tangente à curva neste mesmo instante tempo.

QUESTÃO 02:

Qual equação modela o problema apresentado?

QUESTÃO 03:

Selecione todas as respostas corretas sobre como a equação que modela o comportamento da população pode ser classificada.

parcial diferencial linear algébrica de segunda ordem separável não-separável ordinária não-linear de primeira ordem

QUESTÃO 04:

De acordo com a resposta anterior, qual metodologia é mais adequada para obter a solução exata da equação?

Método Numérico Método da Separação de Variáveis Método da Variação dos Parâmetros (Método dos Coeficientes a Determinar)

QUESTÃO 05:

Qual a solução da equação?

QUESTÃO 06:

Qual o valor que deve ser adotado para a constante de proporcionalidade

para população dobrar em uma unidade de tempo?

QUESTÃO 07:

Se a constante de proporcionalidade

vale 2, qual o tempo necessário para que o número de indivíduos triplique?

ln(3/2) ln(3)/2 e^(2/3) e^(3/2)

A tabela a seguir apresenta 7 colunas de dados que foram obtidos a partir de equações matemáticas. Apenas as colunas E, e F explicitam a equação usada.

É possível visualizar os dados da tabela através do gráfico abaixo

QUESTÃO 08:

A partir dos dados disponibilizados, qual ou quais colunas não apresentam o comportamento de um crescimento populacional estudado nesta atividade?

Coluna C Coluna D Coluna A Coluna B Coluna E Coluna F

QUESTÃO 09:

Qual o valor aproximado de r para as colunas A, B, C e D respectivamente?

não se aplica;

; ln(1,125); 2 3;

; não se aplica; 2 não se aplica; 2; não se aplica;

; 2; não se aplica;

QUESTÃO 10:

Marque as alternativas verdadeiras:

Como todas as colunas apresentam número de indivíduos igual a 50 no início, a Coluna A apresentar valores ora maior, ora menor que os valores da Coluna D é um indicio de que uma dessas colunas não representa o crescimento de uma população que segue o modelo apresentado nesta atividade. Caso quiséssemos adicionar mais uma linha à tabela, o valor a ser inserido nesta linha e na coluna B seria 33257,082. Dobrar o valor de

sempre terá um efeito maior que dobrar o número inicial de indivíduos (para valores não nulos destas grandezas). Para t = 0, t = 1 e t = 2 temos respectivamente os valores 50, 150 e 450, ou seja, o número de indivíduos está triplicando a cada unidade de tempo. Portanto, no intervalo onde 0 < t < 2 os dados apresentados se comportam de acordo com a modelagem realizada nesta atividade. A equação que descreve o comportamento da população da coluna B é

. As equações apresentadas nas colunas E e F são diferentes da solução apresentada nesta atividade, e portanto, não podem descrever o comportamento de uma população cujo crescimento é proporcional ao número de indivíduos. A coluna C não representa um crescimento populacional por que não se pode ter um numero fracionado para representar quantidade de indivíduos

– Sergio Herman Bastos Lima

A timeout occurred. Trying to re-save …

Sorry, but the server is not responding. Please wait a few minutes and then try to save again.

0