Miután [url=https://www.geogebra.org/m/BQfR2P9n]meg tudjuk adni[/url] a P-modellen felvett háromszög szögeinek és oldalainak a mérőszámait, valamint adott mérőszámokhoz [url=https://www.geogebra.org/m/NvShaZ7G]meg tudjuk szerkeszteni[/url] a nekik megfelelő szakaszokat és szögeket, megmutatjuk, hogy melyek azok az euklideszi geometriából ismert szinusz- és koszinusztételhez hasonló összefüggések, amelyek lehetővé teszik, hogy a P-modellen is meg tudjuk határozni a háromszög bármely három numerikus alapadatából (oldalai hosszából és szögei mértékéből) a további hármat. [br][br]A szakaszok hosszát megadó képletekben használtuk először a [url=https://www.geogebra.org/m/Hf3wzUKD#material/JpvUkQmd]már bemutatott[/url] [math]p=ln\left(\frac{10+d}{10-d}\right)[/math]konstanst, amelyet a tetszőlegesen választható  [b]d =Távolság[(0,0),E] [/b]értékből számoltunk ki. Ez a p paraméter szerepel a hiperbolikus geometria trigonometrikus képleteiben is. Az [i]ABC[/i] háromszögben a szögek (és mérőszámuk is) legyen [i]α, β, γ [/i], oldalainak a H-távolsága [i]a, b, c! [br][br]M[/i]utassuk meg, hogy a hiperbolikus geometriában érvényes a trigonometrikus és [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Hiperbolikus_f%C3%BCggv%C3%A9nyek]hiperbolikus függvényeket[/url] tartalmazó[br][br] a.) H-szinusztétel: [math]\frac{sin\left(\alpha\right)}{sh\left(p\cdot a\right)}=\frac{sin\left(\beta\right)}{sh\left(p\cdot b\right)}=\frac{sin\left(\gamma\right)}{sh\left(p\cdot c\right)}[/math][br] b.) a szögekre vonatkozó H-koszinusztétel: [math]ch\left(p\cdot c\right)=\frac{cos\left(\alpha\right)cos\left(\beta\right)+cos\left(\gamma\right)}{sin\left(\alpha\right)sin\left(\beta\right)}[/math][br] c.) az oldalakra vonatkozó H-koszinusztétel:  [math]cos\left(\gamma\right)=\frac{ch\left(p\cdot a\right)ch\left(p\cdot b\right)-ch\left(p\cdot c\right)}{sh\left(p\cdot a\right)sh\left(p\cdot b\right)}[/math][br][br]Mutassuk meg, hogy a fenti összefüggések érvényessége független a mértékegység megválasztásától.

A fenti applet lényegében megegyezik az ABC háromszög numerikus adatait meghatározó aplettel, csak most leírtuk a fenti trigonometrikus összefüggések numerikus eredményeit. Ezek - meggyőző módon - tükrözik, hogy a kétféleképpen kiszámított numerikus értékek legalább 10[sup]-12[/sup] pontosan egyeznek még akkor is, ha a háromszög valamely csúcsa igen közel kerül a végtelen távoli helyzethez. (Javasoljuk olvasóinknak, hogy a kételyeik eloszlatása érdekében töltsék le a fájlt, és nézzék meg a szövegeket szerkesztés üzemmódban.) [br][br]Figyeljük meg, hogy az oldalak hossza függ a mértékegység megválasztásától, a képletek numerikus értékei viszont - gyakorlatilag - nem.[br][br]Megjegyezzük még, hogy ha a háromszög egyik szöge (pl. [i]γ[/i] ) derékszög, akkor a háromszög oldalai közötti [color=#ff0000][b][i]ch(p·c)=ch(p·a)·ch(p·b)[/i] [/b][/color] összefüggéshez jutunk, amely a hiperbolikus geometriában a Pitagorasz tétel megfelelője. Ez az összefüggés ugyancsak független a távolságegység megválasztásától. Numerikus ellenőrzését olvasóinkra bízzuk.