[size=200][color=#ff0000]Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerza F a lo largo de la curva C.[/color][/size]

[size=150]31.-[math]F\left(x,y\right)=\left\langle y^2+x,y^2+2\right\rangle[/math], [b]C [/b]es el cuarto de círculo de (4,0) a (0,4).[br][br][/size]Tomemos como parametrización:[br][br][math]y=t[/math](como termino libre) y [math]x=4-t[/math] donde [math]0\le t\le4[/math][br][br]Por lo tanto, nos queda lo siguiente:[br][br][math]c\left(t\right)=\left\langle4-t,t\right\rangle[/math][br][br]Entonces, derivamos a c(t):[br][br][math]c'\left(t\right)=\left\langle-1,1\right\rangle[/math][br][br]Ahora, calculamos [math]\left|c'\left(t\right)\right|[/math]:[br][br][math]\left|c'\left(t\right)\right|=\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(1\right)^2}=\sqrt{2}[/math][br][br]Entonces, la integral del trabajo es la siguiente:[br][br][math]w=\int_0^4\frac{\left\langle t^2+\left(4-t\right),t^2+2\right\rangle\left\langle-1,1\right\rangle}{\sqrt{2}}\sqrt{2}dt=\int_0^4\left\langle t^2-t+4,t^2+2\right\rangle\left\langle-1,1\right\rangle dt=\int_0^4-t^2+t-4+t^2+2dt=\int^4_0t-2dt[/math][br][br]Resolviendo la integral, tenemos lo siguiente:[br][br][math]w=\int^4_0t-2dt=\left[\frac{t^2}{2}-2t\right]^4_0=\frac{16}{2}-8=8-8=0[/math]

[size=150]33.- [math]F\left(x,y\right)=\left\langle xe^y,e^x+y^2\right\rangle[/math], es la porción de [math]y=x^2[/math] de (0, 0) a (1, 1).[br][br][/size]Tomemos como parametrización:[size=100][size=150][br][br][math]x=t[/math][/size][/size](como termino libre) y [math]y=t^2[/math] donde [size=100][size=150][math]0\le t\le1[/math][br][br][/size][/size]Por lo tanto, nos queda lo siguiente:[size=100][size=150][br] [math]c\left(t\right)=\left(t,t^2\right)[/math][br][/size][/size]Entonces, derivamos a c(t):[br][size=100] [math]c'\left(t\right)=\left(1,2t\right)[/math] [br]Entonces, la integral de trabajo es la siguiente:[/size][br][br][math]w=\int^1_0\left\langle te^{t^2},e^t+t^4\right\rangle\left\langle1,2t\right\rangle dt=\int^1_0te^{t^2}+2te^t+2t^5dt=\left[\frac{3e^{t^2}+2\left(6\left(t-1\right)e^t+t^6\right)}{6}\right]^1_0=\left[\left(1.692474248-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)\right]=\frac{3e+11}{6}\approx3.192474248[/math][br]