In ein [i]gleichseitiges[/i] Dreieck [b]ΔABC[/b] ist eine [color=#FF0000]Sehne [b]s[/b][/color] eingezeichnet. Hält man einen Endpunkt der Sehne fest (wir entscheiden uns für den Punkt [b]P[/b]) und bewegt den anderen [color=#FF0000]Endpunkt [b]Q[/b][/color] gleichmäßig entlang der Berandungslinie des Dreiecks, so ändert sich die Länge der Sehne. [br][br]Bei der Bewegung des Endpunktes [color=#FF0000][b]Q[/b][/color] der Sehne auf der Kreislinie ändert sich ihre Länge.
[b](1)[/b] Wann ist die Länge der [color=#FF0000]Sehne [b]s[/b][/color] am größten und wann am kleinsten? Begründe deine Antwort.
[b](2)[/b] Beschreibe, in welchen Phasen der Bewegung des Endpunktes [color=#FF0000][b]Q[/b][/color] auf der Berandungslinie des Dreiecks die Änderung der Streckenlänge langsamer bzw. schneller erfolgt. Notiere deine Beschreibung unten im Kasten und versuche zu erklären, warum das so ist.[br] [br][b]Hinweis:[/b] Denke an das [url=http://www.juergen-roth.de/dynageo/sehne_aenderung/gummibandmodell.html][img width=16,height=16]http://www.juergen-roth.de/images/icons/information.png[/img] Gummibandmodell[/url]![br][br]Klicke nur dann auf [color=#FF0000]Hilfe[/color], wenn du nicht weiterkommst oder wenn du deine Überlegungen überprüfen willst.
[b](3)[/b] Skizziere den Verlauf des Sehnenlänge-Weg-Graphen, wenn [b][color=#ff0000]Q[/color][/b] von [b]A[/b] aus gleichmäßig auf der Berandungslinie des Dreiecks bewegt wird.
[b](4)[/b] Klicke auf [b]Graph (Weg / Sehnenlänge)[/b].[list][*]Über dem Weg, den der Punkt [color=#FF0000][b]Q[/b][/color] von [b]A[/b] aus bereits auf der Berandungslinie des Dreiecks zurückgelegt hat, ist nach oben die aktuelle Länge der [color=#FF0000]Sehne [b]s[/b][/color] als Balken aufgetragen. Ziehe am Punkt [color=#FF0000][b]Q[/b][/color] und beobachte dabei die Veränderung des roten Balkens. [br][/*][*]Durch klicken auf den Knopf Spur [color=#38761d]an[/color] kannst du die Spur des Endpunkts des Balkens zeichnen lassen, wenn du am Punkt Q ziehst. Klickst du auf Spur [b][color=#ff0000]aus[/color][/b], wird die Spur wieder ausgeschaltet.[/*][*]Lasse nun den Graph ausgeben, indem du auf [b]Kurve[/b] klickst.[/*][/list] Erkläre die Form bzw. den Verlauf des Graphen am Hand der Figur.
(Erst ab Klasse 9 lösbar.) [br][b](5)[/b] Welche Kurve stellt die Ortslinie dar? Kannst du den Funktionsterm herleiten? Notiere dein Ergebnis. [br][br]Wenn du nicht weiter kommst, kannst du auf [url=http://www.juergen-roth.de/dynageo/sehne_aenderung/dreiecksehne_analytisch.html][img width=16,height=16]http://www.juergen-roth.de/images/icons/information.png[/img] Hilfen zur Herleitung der Funktionsgleichung[/url] klicken.
[b](6)[/b] Wie ändert sich der Verlauf des Graphen, wenn man am anderen Endpunkt [color=#FF0000][b]P[/b][/color] der [color=#FF0000]Sehne [b]s[/b][/color] zieht? [br][list][*]Bitte überlege dir das [b]bevor[/b] du tatsächlich ziehst.[/*][/list] Notiere deine Überlegungen.
[b](7)[/b] Welchen Einfluss hat die Größe gegen die die Länge der Strecke aufgetragen wird? Klicken auf [b]Mittelpunktswinkel[/b] liefert als Kontrastbeispiel einen Graphen, in dem die Länge der [color=#FF0000]Sehne [b]s[/b][/color] gegen die Größe des [color=#00ff00]Mittelpunktswinkels [b]μ[/b][/color] aufgetragen ist. Kannst du dir den anderen Verlauf dieses Graphen erklären?[br][br]Betrachtet man die Ausgangskonfiguration in der Figur, so lässt sich das erklären. Der Grund ist, dass die gleichmäßige Bewegung von [color=#FF0000][b]Q[/b][/color] nicht in eine gleichmäßige Änderung der Winkelgröße von [b][color=#00ff00]μ[/color][/b] umgesetzt wird. [br][br]Mit Hilfe des [url=http://www.juergen-roth.de/dynageo/sehne_aenderung/zirkelmodell.html][img width=16,height=16]http://www.juergen-roth.de/images/icons/information.png[/img] Zirkelmodells[/url] macht man sich klar, dass es Bewegungssituationen des Punktes [color=#FF0000][b]Q[/b][/color] auf der Berandungslinie des Dreiecks gibt, für die die Änderung der Winkelgröße von [b][color=#00ff00]μ[/color][/b] größer und andere für die sie kleiner ist, obwohl die Bahngeschwindigkeit von [color=#FF0000][b]Q[/b][/color] konstant ist. So ändert sich beispielsweise die Winkelgröße von [b][color=#00ff00]μ[/color][/b] am stärksten, wenn [color=#FF0000][b]Q[/b][/color] sich gerade in der Mitte der Strecke [AB] bewegt, weil die Bewegung von [color=#FF0000][b]Q[/b][/color] dabei senkrecht zur aktuellen "Schenkelrichtung" des zweiten Schenkels von [b][color=#00ff00]μ[/color][/b]erfolgt. [br][br]Würde der Punkt [color=#FF0000][b]Q[/b][/color] nicht auf der Dreiecksperipherie sondern auf der Kreislinie des Umkreises des Dreiecks bewegt, so würde die gleichmäßige Bewegung des Punktes [color=#FF0000][b]Q[/b][/color] auch eine gleichmäßige Vergrößerung des Winkels [b][color=#00ff00]μ[/color][/b] bewirken, da die Bewegungsrichtung in diesem Fall immer senkrecht auf dem jeweiligen Radius steht.[br]