IL VOLUME DELLA SFERA QUAL E'?

[color=#444444]1) Nel disegno sono raffigurati:[br]# un cono circolare retto avente raggio di base [b]HP = r[/b] ed altezza [b]VH = r[/b][br]# un solido detto [i]scodella di Galileo[/i] dato dalla regione di spazio delimitata[br][/color][list][*][color=#444444]da un cilindro circolare retto avente raggio di base [b]AC = BG = r[/b] ed altezza [b]CG = r[/b][br][/color][/*][*][color=#444444]da una semisfera di centro G e raggio [b]GC = r[/b][/color][br][/*][/list][br]Il cono e il cilindro sono appoggiati sullo stesso piano (piano xy).

2) Un piano k, a distanza z dal piano xy, interseca il cono e la [i]scodella[/i].[br]L'intersezione tra il piano k e il cono è

un punto un cerchio una circonferenza

L'intersezione tra il piano e la [i]scodella [/i]è

un cerchio una coppia di cerchi una coppia di circonferenze una corona circolare una circonferenza

CALCOLIAMO LE AREE DELLE INTERSEZIONI TRA IL PIANO k E I DUE SOLIDI (IL CONO E LA [i]SCODELLA[/i])

3) L'intersezione tra il piano k e il con è un cerchio di centro K e raggio KQ.[br]I due triangoli VKQ e VHP sono rettangoli e tra loro

Inoltre, dato che VH = r, HP = r, il triangolo VHP è

Quindi il triangolo rettangolo VKQ è isoscele e vale l'uguaglianza KQ = VK.[br]D'altra parte VK è uguale a

r - z z - r r z

Si conclude che l'intersezione del piano k con il cono, che è un cerchio di raggio KQ, ha area

[math]a_1=2\pi r[/math] [math]a_1=\pi r^2[/math] [math]a_1=\pi z^2[/math] [math]a_1=2\pi\left(r-z\right)[/math] [math]a_1=2\pi z[/math] [math]a_1=\pi\left(r-z\right)^2[/math]

4) L'intersezione del piano k con la [i]scodella [/i]è una corona circolare, delimitata da una circonferenza esterna di raggio FD e una circonferenza interna di raggio FE.[br][br]5) Il quadrilatero FDGB è un

quindi il raggio della circonferenza esterna della corona circolare è FD = BG ed è uguale a

r r - z z - r z

6) L'ipotenusa GD del triangolo rettangolo GFD è uguale a

z - r r - z r z

Il cateto GF del triangolo rettangolo GFD è uguale a

r - z r z - r z

Il cateto FD del triangolo rettangolo GFD (e raggio della circonferenza interna che delimita la corona circolare) è dato da

[math]\sqrt{z^2-2rz}[/math] [math]\sqrt{z^2+2rz}[/math] [math]\sqrt{2rz-z^2}[/math] [math]\sqrt{2r^2+z^2-2rz}[/math]

7) L'area della corona circolare risulta quindi uguale a

[math]a_2=\pi\left(r+z\right)^2[/math] [math]a_2=\pi\left(r-z\right)^2[/math] [math]a_2=\pi z^2[/math] [math]a_2=\pi r^2[/math]

8) Le due aree a[sub]1[/sub] e a[sub]2[/sub] sono quindi

e dato che questo risultato non dipende dal valore di z, è possibile affermare che le intersezioni del cono e della [i]scodella [/i]con un qualunque piano parallelo al piano xy hanno uguale

quindi, per il principio di Cavalieri, i due solidi (cono e [i]scodella[/i]) hanno uguale

9) Il volume V di una sfera di raggio r è doppio del volume della semisfera, uguale alla differenza tra il volume del cilindro e il volume della [i]scodella[/i], quindi alla differenza tra il volume V' del cilindro e il volume V" del cono (equivalente alla [i]scodella[/i]): V = 2(V' + V").[br][br]10) Il volume del cilindro, che può essere considerato un prisma a base circolare) è dato da

[math]V'=2\pi rz[/math] [math]V'=\pi r^3[/math] [math]V'=2\pi r^3[/math] [math]V'=\pi r^2z[/math]

11) Il volume del cono (considerato una piramide a base circolare) è dato da

V" = [math]2\pi r^3[/math] V" = [math]\frac{1}{3}\pi r^3[/math] V" = [math]\frac{1}{4}\pi r^3[/math] V" = [math]\frac{1}{2}\pi r^3[/math]

12) Sostituendo i risultati dei punti 10), 11) nell'uguaglianza 9): V = 2(V' + V") si ottiene per il volume della sfera il noto risultato [math]V=\frac{4}{3}\pi r^3[/math][br][br]V. [url=http://www.matefilia.it/maturita/ord2009/ord2009.pdf]esame 2009 - s.ord. - quesito 9[/url]

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