1. Positionen und Richtungen

Ein Überblick
Mit Hilfe der Analytischen Geometrie kann man Dinge, Gegenstände, Bewegungen oder Richtungen im dreidimensionalen Raum darstellen. Das braucht man zum Beispiel dazu, um als Architekt Häuser mit dem Computer zu entwerfen um in Fabriken Maschinen zu programmieren, die Dinge ausschneiden oder um mit Hilfe eines Navigationsgerätes seinen Weg zu finden.[br]Egal ob man eine Position oder eine Bewegung im dreidimensionalen Raum beschreibt, man braucht dazu drei Zahlen - für jede Dimension eine.
Kartesisches Koordinatensstem
Es gibt mehrere Möglichkeiten einen Ort mit drei Zahlen zu beschreiben. Die sogenannten GPS-Koordinaten, mit denen die Navigationsgeräte in Autos und Handys arbeiten, die verwenden zwei Winkel (zum Besipiel "nördliche Breite" und "östliche Länge") und die Entfernung vom Erdmittelpunkt, also die Höhe. [br][br]Wir werden hier das[color=#980000][b] kartesische Koordinatensystem[/b][/color] verwenden. Es besteht aus drei Achsen, die [b]senkrecht[/b] aufeinander stehen. Sie heißen dann [math]x[/math]-Achse, [math]y[/math]-Achse und [math]z[/math]-Achse. Manchmal findet man auch die Bezeichnungen [math]x_1[/math]-Achse, [math]x_2[/math]-Achse und [math]x_3[/math]-Achse oder noch andere bezeichnungen.[br]Genaugenommen sollen diese Achsen in einem "Rechtssystem" angeordnet sein, das heißt: Wenn man die rechte Hand betrachtet, dann sind die Richtungen der abgespreizten Daumen - Zeigefinger - Mittelfinger die Richtungen der [math]x[/math]-, [math]y[/math]- und der [math]z[/math]-Achsen. Aber das wird in vielen Schriften gar nicht so genau genommen, man sollte jedes mal überprüfen, in welche RIchtung welche Achse zeigen sollen. Es gibt eigentlich immer eine Abbildung, die das klärt.[br][br][img]data:image/png;base64,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oder [img]data:image/png;base64,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[/img][br][br]Zum Beispiel findet man als Höhen-Achse oft die [math]y[/math]-Achse, weil dann zu dem bekannten [math]x[/math]-[math]y[/math]-System nur noch die dritte [math]z[/math]-Achse hinzugefügt wurde, aber gerade in technischen Anwendungen ist auch die [math]z[/math]-Achse oft die Höhen-Achse.
Punkte
Punkt sind dazu da, um einen Ort zu definieren. Wir brauchen für einen Punkt eine [math]x[/math]-, eine [math]y[/math]- und eine [math]z[/math]-Koordinate. Die Schreibweise für einen Punkt [math]\mathbf P[/math] mit der [math]x[/math]-Koordinate 1, der [math]y[/math]-Koordinate 2 und der [math]z[/math]-Koordinate 3 ist:[br][center][math]\text{\LARGE{$\mathbf P(1\vert 2\vert 3) $}}[/math][/center]Tatsächlich steht hier zwischen dem Namen des Punktes [math]\mathbf{P}[/math] und den Koordinaten [math](1|2|3)[/math] kein Gleichheitszeichen. Bei Vektoren ist das anders (s.u.).[br][br]Im folgenden Applet kann der Punkt [math]\mathbf{P}(1|2|3)[/math] in einem dreidimensionalen System betrachtet werden. Bewegen Sie den Navigationspunkt, um das System zu drehen oder zu kippen.
Ein Punkt in 3D
Vektoren
Vektoren beschreiben eine Richtung. Nehmen wir als Beispiel die Richtung "Süden". Ich kann von Cuxhaven aus in Richtung "Süden" gehen, ich kann aber auch mitten in Paris stehen und in die Richtung "Süden" gehen, die Richtung ist die gleiche. So ist es auch bei Vektoren: Vektoren haben keinen Anfangs und keinen Endpunkt, sie weisen einfach in eine Richtung. Allerdings gibt es in kartesischen Koordinaten keine Himmelsrichtungen. Sehen wir uns ein Beispiel an:[br][br][center][math]\text{\LARGE{$\vec v= \begin{pmatrix} 0 \\8\\15 \end{pmatrix}$}}[/math][/center]Dieser Vektor sagt: "Gehe keinen Schritt in Richtung [math]x[/math], 8 Schritte in Richtung [math]y[/math] und 15 Schritte in Richtung [math]z[/math]". Wenn man dann vom Anfangspunkt bis zum Endpunkt "dieser Wanderung" einen Pfeil malt, dann hat man den oben stehenden Vektor richtig gezeichnet.[br]
Der Betrag oder die Länge eines Vektors
Ein Vektor hat zwei wichtige Eigenschaften: [br][list][*]eine Richtung und [/*][*]eine Länge[/*][/list]Das ist wichtig, um zum Beispiel einen Weg mit einem Vektor darzustellen. Es muss eine Richtung angegeben werden und eine Strecke, wie weit diese Richtung verfolgt werden soll. Ähnliches gilt für die Darstellung von Kräften und Geschwindigkeiten mit Vektoren.[br][br]Die Länge eines Vektors wird auch der [color=#980000][b]Betrag des Vektors[/b][/color] genannt. Daher wird die Länge auch mit Betragsstrichen gekennzeichnet. Manchmal wird auch der Name des Vektors ohne den darüberstehenden Pfeil verwendet, um dem Betrag einen Namen zu geben. Der Betrag eines Vektors lässt sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Im dreidimensionalen Fall allerdings in einer etwas erweiterten Fassung:[br][br][list][*]In 2 Dimensionen: [math]\left|\vec v \right|=v=\left| \begin{pmatrix}v_x\\v_y\end{pmatrix} \right|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}[/math] [/*][*]In 3 Dimensionen: [math]\left|\vec v \right|=v=\left| \begin{pmatrix}v_x\\v_y\\v_z\end{pmatrix} \right|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}[/math] [br][/*][/list][br]
Übung macht den Meister
Es ist gar nicht so einfach die dreidimensionale Welt auf einem zweidimensionalen Bildschirm oder einem Blatt Papier darzustellen. Sowohl das Zeichnen also auch das Lesen solcher Zeichnungen erfordert ein dreidimensionales Vorstellungsvermögen, das sich aber gut trainieren lässt. Siehe dazu das nächste Kapitel "[url=https://www.geogebra.org/m/ussujf33]der Irrgarten[/url]".
Besondere Vektoren
Es gibt ein paar Vektoren, die einen eigenen Namen haben:[br][list][*]Der [color=#980000][b]Gegenvektor[/b][/color] zu einem Vektor [math]\mathbf{\vec{v}}[/math] ist ein Vektor, der genau so lang ist, aber in die entgegengesetzte Richtung zeigt. Der Gegenvektor zu einem Vektor [math]\mathbf{\vec{v}}[/math] heißt [math]\mathbf{-\vec{v}}[/math] .[br]Der Gegenvektor zu [math]\begin{pmatrix}3\\-5\\2\end{pmatrix}[/math] ist der Vektor [math]\begin{pmatrix}-3\\5\\-2\end{pmatrix}[/math]. D.h. jede Koordinate ändert ihr Vorzeichen.[br] [/*][*]Der [color=#980000][b]Ortsvektor[/b][/color] eines Punktes [math]\mathbf{P}[/math] ist der Vektor vom Nullpunkt zum Punkt [math]\mathbf{P}[/math]. Man bezeichnet ihn mit [math]\overrightarrow{0P}[/math]. Ein "normaler" Vektor ist eine Richtung, das heißt er kann von jedem beliebigen Punkt aus beginnen. Das ist beim Ortsvektor anders: [b]Ein Ortsvektor beginnt immer im Nullpunkt[/b]. Der Ortsvektor des Punktes [math]\mathbf{P}(1|-2|7)[/math] ist der Vektor [math]\overrightarrow{0P}=\begin{pmatrix} 1\\-2\\7\end{pmatrix}[/math].[/*][*]Der [color=#980000][b]Nullvektor[/b][/color] ist ein Vektor, den man für Rechnungen ab und zu braucht. Aber er ist auch etwas seltsam, denn er hat [b]keine Richtung[/b]: In einem Nullvektor sind alle Koordinaten gleich Null. Das heißt zum Beispiel: Gehe [b]keinen[/b] Schritt in Richtung [math]x[/math], [b]keinen[/b] Schritt in Richtung [math]y[/math] und [b]keinen[/b] Schritt in Richtung [math]z[/math], also [math]\overrightarrow 0=\begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix}[/math].[/*][*]Der [color=#980000][b]Einheitsvektor[/b][/color] ist ein Vektor, der eine Länge von [math]1[/math] hat. Mit folgendem Trick kann man aus jedem Vektor einen Einheitsvektor machen:[br][br][center][math]\vec e_v=\frac 1{\left|\vec v\right|}\cdot \vec v[/math] [/center][br]Das Multiplizieren eines Vektors mit der Zahl [math]\frac 1{\left|\vec v\right|}[/math] geht genau so, wie das Multiplizieren einer Matrix mit einer Zahl, jede Koordinate muss multipliziert werden.[br][/*][/list]

Information: 1. Positionen und Richtungen