[br]Rozważmy następujący układ równań liniowych: [br][center][math]\ \ \ \begin{cases}x+2y-z=1\\3x+y=2. \end{cases}[/math] [/center]Jest to układ dwóch równań z trzema niewiadomymi [math]x[/math], [math]y[/math], [math]z[/math]. Każde równanie opisuje pewną płaszczyznę [math]-[/math] oznaczmy je przez[br][center][math]\pi_1:x+2y-z=1[/math], [math]\pi_2:3x+y=2[/math].[/center]Aby podać interpretację geometryczną podanego układu równań najpierw zbadamy wzajemne położenie płaszczyzn [math]\pi_1[/math] i [math]\pi_2[/math]. Przypomnijmy, że w tym celu musimy wyznaczyć wektory prostopadłe do płaszczyzn. A zatem[br][center][math]n_1=[1,2,-1]\perp\pi_1[/math] oraz [math]n_2=[3,1,0]\perp\pi_1[/math].[/center][br][br]
Ponieważ wektory [math]n_1[/math] i [math]n_2[/math] nie są równoległe, więc płaszczyzny [math]\pi_1[/math] i [math]\pi_2[/math] także nie są równoległe. W takim przypadku przecinają się wzdłuż pewnej prostej. Równania tej prostej możemy wyznaczyć [br][list][*][color=#666666][color=#000000]rozwiązując samodzielnie rozważany układ równań (np. metodą Gaussa),[/color][/color][/*][*]wykorzystując w GeoGebrze narzędzie [b]Przecięcie dwóch powierzchni[i][color=#666666] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_intersectioncurve.png[/icon][/color][/i][/b][color=#666666][color=#000000] (spróbuj to zrobić w powyższym aplecie), [br][/color][/color][/*][*][color=#666666][color=#000000]rozwiązując układ równań w Widoku CAS (jak poniżej).[/color][/color][/*][/list]
Rozwiązania badanego układu równań leżą na prostej [math]l[/math] opisanej równaniami parametrycznymi:[br][center][math]\ \ \ l: \begin{cases}x=-\frac{1}{5}z_0+\frac{3}{5}\\y=\frac{3}{5}z_0+\frac{1}{5}, \quad z_0 \in \mathbb{R}. \\z=z_0\end{cases} [/math] [/center]
W rozważanym układzie równań zmień drugie równanie tak, aby powstał układ sprzeczny. Wskazówka: dobierz współczynniki płaszczyzny [math]\pi_2[/math] w taki sposób, by płaszczyzny [math]\pi_1[/math] i [math]\pi_2[/math] były równoległe i różne.
W rozważanym układzie równań dodaj trzecie równanie tak, aby powstał układ sprzeczny.