Teoremi sulle derivate
Relazione tra derivabilità e continuità, Lemma di Fermat, Teorema di Rolle, Lagrange e Cauchy
Table of Contents
- Definizioni e Teoremi preliminari
- Definizioni e Teoremi preliminari
- Continuità e Derivabilità
- Derivabilità e continuità
- Lemma di Fermat
- Lemma di Fermat - Enunciato e dimostrazione
- Lemma di Fermat - Analisi di ipotesi e tesi
- Teorema di Rolle
- Teorema di Rolle - Enunciato e dimostrazione
- Teorema di Rolle - Analisi di ipotesi e tesi
- Teorema di Rolle - Video
- Teorema di Lagrange
- Teorema di Lagrange
- Teorema di Lagrange - Analisi di ipotesi e tesi
- Teorema di Cauchy
- Teorema di Cauchy
- Teorema di Cauchy - proposta (errata) di dimostrazione
- Teorema di Cauchy - Dimostrazione
Definizioni e Teoremi preliminari
DEFINIZIONE di MASSIMO e MINIMO
Data una funzione [b][math]y=f(x)[/math][/b] e un punto [b][math]x_0\in D(f)[/math][/b], se;:[br][list][*][b][math]f(x_0)>f(x)\;\forall x\in D(f)[/math][/b], [b][math]x_0[/math][/b] è massimo assoluto [/*][*][b][math]f(x_0)\lt f(x)\;\forall x\in D(f)[/math][/b], [b][math]x_0[/math][/b] è minimo assoluto [/*][*][b][math]\exists I_{x_0} /\; f(x_0)>f(x)\;\forall x\in I_{x_0}[/math][/b], [b][math]x_0[/math][/b] è massimo relativo[/*][*][b][math]\exists I_{x_0} /\; f(x_0)\lt f(x)\;\forall x\in I_{x_0}[/math][/b], [b][math]x_0[/math][/b] è minimo relativo[/*][/list]
OSSERVAZIONE
Un punto di estremo assoluto è anche relativo.[br]Il contrario è in generale falso.
DEFINIZIONE di CONTINUITÀ
Data una funzione [math]y=f\left(x\right)[/math] e un punto [math]x_0\in D\left(f\right)[/math], la funzione è continua in [math]x_0[/math] se[br][center][math]\exists\lim_{ x \to x_0}f(x)=f(x_0)[/math][/center]
TEOREMA di WEIERSTRASS
Data una funzione [math]y=f\left(x\right)[/math] e un intervallo chiuso [math][a,b]\subset D\left(f\right)[/math], se la funzione è continua in [math][a,b][/math] allora in quell'intervallo ammette massimo e minimo assoluti.
DEFINIZIONE di DERIVABILITÀ
Data una funzione [math]y=f\left(x\right)[/math] e un punto [math]x_0\in D\left(f\right)[/math], la funzione è derivabile in [math]x_0[/math] se[br][center][math]\exists\lim_{ x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)\in \mathbb{R}[/math][/center]
Derivabilità e continuità
TEOREMA
Data una funzione [math]y=f\left(x\right)[/math] e un punto [math]x_0\in D\left(f\right)[/math], se la funzione è derivabile in [math]x_0[/math] allora in quel punto sarà anche continua.
DIMOSTRAZIONE
Per ipotesi la funzione è derivabile in [math]x_0[/math], quindi[br][math]\exists\lim_{ x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)[/math][br]Essendo [math]f'\left(x_0\right)[/math] un numero, lo si porta a primo membro dell'uguaglianza e all'interno del limite, ovvero[br][math]\lim_{ x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)=0[/math][br]da cui facendo il mcd si ottiene:[br][math]\lim_{ x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)\cdot(x-x_0)}{x-x_0}=0[/math][br]Se si analizza quest'ultima espressione si può affermare che:[br][list][*]il denominatore tende evidentemente a zero con ordine d'infinitesimo 1[/*][*]il valore del limite è zero[/*][/list]quindi il numeratore deve per forza tendere a zero e, per le regole di confronto tra infinitesimo, con un ordine d'infinitesimo maggiore di 1, ovvero[br][math]\lim_{ x \to x_0}f(x)-f(x_0)-f'(x_0)\cdot(x-x_0)=0[/math][br]Sviluppando il limite si ottiene:[br][math]\lim_{ x \to x_0}f(x)-f(x_0)-f'(x_0)\cdot(x-x_0)=0 \rightarrow \lim_{ x \to x_0}f(x)-f(x_0)=0 \rightarrow \lim_{ x \to x_0}f(x)=f(x_0)[/math][br]ovvero la funzione è continua in [math]x_0[/math].
ANALISI delle IPOTESI e TESI
In generale invertendo ipotesi e tesi del teorema, la proposizione non vale, ovvero non è detto che se una funzione è continua in [math]x_0[/math] allora in quel punto sia anche derivabile.[br][br]Nell'attività proposta nel controesempio si osserva come la derivata sinistra e destra in x=0 siano diverse, quindi anche se la funzione è continua in 0 non è derivabile.
ISTRUZIONI
Muovi il punto x sull'asse delle ascisse e osserva come varia la derivata.
CONTROESEMPIO
CONCUSIONE
La derivabilità è pertanto una proprietà più "forte" della continuità, ovvero la continuità è condizione necessaria per la derivabilità (non sufficiente).
Lemma di Fermat - Enunciato e dimostrazione
ENUNCIATO
Data una funzione [b][math]y=f(x)[/math][/b] e un punto [b][math]x_0\in D(f)[/math][/b], in cui la funzione sia derivabile. [br]Se [math]x_0[/math] è un punto di estremo relativo (massimo o minimo), allora [b][math]f'(x_0)=0[/math][/b].
SIGNIFICATO GEOMETRICO
Dal Lemma di Fermat di deduce che la [b]retta tangente[/b] nei punti di massimo o minimo di una funzione, ove in questi punti sia [b]derivabile[/b], è parallela all'asse X.
ISTRUZIONI
[list][*]Muovi il punto P sulla curva in modo da valutare il valore della derivata[/*][*]Con l'opzione "Mostra pt modifica" è possibile visualizzare 4 punti con i quali modificare la curva[/*][*]Con l'opzione "Mostra tangenti" è possibile visualizzare le tangenti alla curva nei punti estremali[br][/*][*]Con l'opzione "Mostra f'(x)" è possibile visualizzare la curva della derivata della funzione e le relative intersezioni con l'asse X[br][/*][/list]
DIMOSTRAZIONE
Per ipotesi la funzione è derivabile in [math]x_0[/math], quindi[br][math]\exists\lim_{ x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)\in \mathbb{R}[/math][br]Supponiamo che [math]x_0[/math] sia un punto di massimo relativo, ovvero[br][math]\exists I_{x_0} /\; f(x_0)>f(x)\;\forall x\in I_{x_0}[/math][br]Allora si ha:[br][list][*]la derivata sinistra [math]f'_{-}(x_0)=\lim_{ x \to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{\ominus}{\ominus}=\oplus[/math][/*][br][*]la derivata destra [math]f'_{+}(x_0)=\lim_{ x \to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{\ominus}{\oplus}=\ominus[/math][/*][/list][br]essendo sempre [math]f(x)-f(x_0)<0[/math] per definizione di massimo.[br]Ma per ipotesi la funzione è derivabile in [math]x_0[/math], quindi derivata destra e sinistra sono uguali a [math]f'(x_0)[/math], ed essendo una positiva e l'altra negativa implicano che [math]f'(x_0)=0[/math].[br]Analogamente il teorema si dimostra se [math]x_0[/math] è un punto di minimo relativo.[br]Il caso di punti estremali assoluti è un caso particolare dei relativi.[br][br]
Teorema di Rolle - Enunciato e dimostrazione
Enunciato
Sia y=f(x) una funzione e l'intervallo [a,b][math]\subset[/math]D(f), tale che[br][list=1][*]f è [b]continua [/b]nell'intervallo chiuso [a,b][/*][*]f è [b]derivabile [/b]nell'intervallo aperto ]a,b[[/*][*][b]f(a)=f(b)[/b][/*][/list]allora esiste almeno un punto [b]x[sub]0[/sub][/b][math]\in[/math][b]]a,b[[/b] tale che [b]f'(x[sub]0[/sub])=0[/b]
Significato geometrico
La validità del Teorema di Rolle garantisce l'esistenza di almeno una retta tangente alla curva parallela all'asse X.
Dimostrazione
La dimostrazione si divide in due casi:[br]1) Supponiamo che la funzione sia costante in [a,b], ovvero [math]f\left(x\right)=k=f\left(a\right)=f\left(b\right)[/math]. In questo caso si ha che [math]f'\left(x\right)=0\; \forall x\in]a,b[[/math], quindi il teorema è verificato.[br]2) Se la funzione non è costante esisteranno degli [math] x\in]a,b[[/math] tale che [math]f(x)\neq f(a)=f(b)[/math].[br]Per ipotesi la funzione è [b]continua[/b] nell'intervallo chiuso [math]\left[a,b\right][/math], quindi valgono le ipotesi del [b]Teorema di Weierstrass[/b], ovvero la funzione ammette massimo e minimo assoluti in [math]\left[a,b\right][/math].[br]In particolare, nel caso in cui il massimo sia agli estremi, che per ipotesi assumono lo stesso valore della funzione, il minimo dovrà essere un altro valore interno all'intervallo, e viceversa.[br]Pertanto [math]\exists x_0\in]a,b[[/math] in cui la funzione assume un massimo o un minimo assoluto.[br]Ma, visto che per ipotesi nell'intervallo aperto la funzione è [b]derivabile, [/b]per il [b]Lemma di Fermat[/b] in quel punto estremale la derivata si annulla, ovvero ricapitolando[br][br][center][math]\large\exists x_0\in]a,b[/ f'(x_0)=0[/math][/center][br]che è la tesi del Teorema.[br]
Attività
Variando [b]n[/b] verifica la tesi del Teorema di Rolle con differenti grafici
Teorema di Lagrange
Enunciato
Sia y=f(x) una funzione e l'intervallo [a,b][math]\subset[/math]D(f), tale che[br][list=1][*]f è [b]continua [/b]nell'intervallo chiuso [a,b][/*][*]f è [b]derivabile [/b]nell'intervallo aperto ]a,b[[br][/*][/list]allora esiste almeno un punto [b]x[sub]0[/sub][/b][math]\in[/math][b]]a,b[[/b] tale che[br][center][b][size=200][math]\large f'\left(x_0\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}[br][/math][/size][br][/b][/center]
Significato geometrico
La validità del Teorema di Lagrange garantisce l'esistenza di almeno una retta tangente alla curva parallela alla retta secante la funzione negli estremi [b]a[/b] e [b]b[/b].
Attività
[list=1][*]Variando [b]n[/b] verifica la tesi del Teorema di Lagrange con differenti grafici[br][/*][*]Sovrapponendo f(a) con f(b) osserva che si verifica il Teorema di Rolle[/*][/list]
Dimostrazione
Consideriamo la seguente funzione:[br][math]h(x)=f(x)\cdot(b-a)-x\cdot(f(b)-f(a))[/math][br]Questa funzione è la composizione delle funzioni y=x, continua e derivabile in [math]\mathbb{R}[/math] ed f(x), che verifica le ipotesi, quindi di conseguenza h(x) verifica le ipotesi 1 e 2 del Teorema di Lagrange.[br]Si calcola quindi:[br][math]h\left(a\right)=f(a)\cdot(b-a)-a\cdot(f(b)-f(a))=b\cdot f(a)\cancel{-a\cdot f(a)}-a\cdot f(b)+\cancel{a\cdot f(a)}=b\cdot f(a)-a\cdot f(b)[/math][br][math]h\left(b\right)=f(b)\cdot(b-a)-b\cdot(f(b)-f(a))=\cancel{b\cdot f(b)}-a\cdot f(b)-\cancel{b\cdot f(b)}+b\cdot f(a)=b\cdot f(a)-a\cdot f(b)[/math][br]ovvero[br][math]h(a)=h(b)[/math][br]cioè h(x) verifica anche la terza ipotesi del Teorema di Rolle, per cui:[br][math]\exists x_0\in ]a,b[ \; / \;h'(x_0)=0[/math][br]La derivata di h(x) è:[br][math]h'(x)=f'(x)\cdot(b-a)-(f(b)-f(a))[/math][br]e per quanto detto sopra[br][math]h'(x_0)=f'(x_0)\cdot(b-a)-(f(b)-f(a))=0 \rightarrow f'(x_0)\cdot(b-a)=f(b)-f(a)[/math][br]da cui la tesi, ovvero[br][center][math]f'\left(x_{0}\right)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/math][/center][br]
Teorema di Cauchy
Enunciato
Siano y=f(x) e y=g(x) due funzioni e l'intervallo [math][a,b]\subset D(f)\cap D(g)[/math], tale che[br][list=1][*]f e g siano [b]continue [/b]nell'intervallo chiuso [math][a,b][/math][/*][*]f e g siano [b]derivabili [/b]nell'intervallo aperto [math]]a,b[[/math][br][/*][*][math]g'(x)\neq 0 \;\; \forall x\in ]a,b[[/math][br][/*][*][math]g(a)\neq g(b)[/math][/*][/list]allora esiste almeno un punto [b]x[sub]0[/sub][/b][math]\in[/math][b]]a,b[[/b] tale che[br][center][b][size=200][math]\large \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g(b)-g(a)}[br][/math][/size][br][/b][/center]
Osservazione
Il Teorema di Cauchy è una generalizzazione del Teorema di Lagrange: infatti nel caso in cui[br][math]\large g(x)=x \rightarrow g(a)=a, g(b)=b, g'(x)=1[/math][br]da cui[br][math]\large \frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}=\frac{f'(x_0)}{1}=f'(x_0)[/math][br]e[br][math]\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{g(b)-g(a)}=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}[/math][br]da cui si ottiene[br][center][math]f'(x_0)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}[/math][/center][br]ovvero la tesi del Teorema di Lagrange