Trasformazioni geometriche di funzioni goniometriche
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Disegna la funzione [math]y=cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1[/math]
C'è un modo per arrivare in maniera graduale a questa funzione tramite trasformazioni geometriche successive a partire da [math]y=cos\left(x\right)[/math]. Vediamo come si fa. Disegnate le funzioni [math]y=cos\left(x\right)[/math] e [math]y=cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/math]
Che cosa è cambiato rispetto a [math]y=cos\left(x\right)[/math]?
Ora disegna [math]y=cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/math] e [math]y=cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1[/math]
Che cosa è cambiato rispetto a [math]y=cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/math]?
Ora prova a disegnare [math]y=sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+2[/math] con la stessa procedura che hai utilizzato per disegnare la funzione [math]y=cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)-1[/math]. Quindi parti da [math]y=sin\left(x\right)[/math] poi disegna [math]y=sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)[/math] e infine [math]y=sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+2[/math]
Che cosa puoi notare?
Come puoi chiamare questo tipo di trasformazione?
Se non riuscite a capire che cosa è successo potete verificare cosa cambia in questa trasformazione tramite l'utilizzo degli slider. Create due slider (seconda icona a partire da destra) che potete chiamare [math]\varphi[/math] e [math]\kappa[/math] e fateli variare da -10 a 10. Successivamente scrivete la funzione [math]y=sin\left(x+\varphi\right)+k[/math] e osservate cosa succede se fate variare [math]\varphi[/math] e [math]\kappa[/math].
Quindi che cosa significa scrivere come angolo [math]x+\varphi[/math] ?
Che significa aggiungere o togliere una quantità k alla funzione seno o coseno, cioè [math]y=sin\left(x\pm\varphi\right)\pm k[/math] o [math]y=cos\left(x\pm\varphi\right)\pm k[/math] ?
Il valore [math]\varphi[/math] è chiamato SFASAMENTO o FASE INIZIALE
Ora proviamo a vedere che cosa succede se invece che [math]x[/math] consideriamo come angolo [math]2x[/math] . Disegnate le funzioni [math]y=sin\left(x\right)[/math] e [math]y=sin\left(2x\right)[/math]
Che cosa potete osservare?
E se proviamo a considerare la funzione [math]y=sin\left(\frac{1}{2}x\right)[/math]? Disegnate anche [math]y=sin\left(x\right)[/math] così potete vedere meglio la differenza tra le due funzioni e capire cosa significa dimezzare l'angolo.
Che cosa è successo?
Ciò che avete notato riguarda la variazione del periodo delle funzioni goniometriche. Osservate questo file PDF che riguarda il periodo di una funzione goniometrica.
Data la funzione [math]y=sin\left(\omega x\right)[/math] il valore [math]\omega[/math] davanti alla [math]x[/math] prende il nome di PULSAZIONE
Ora andiamo a vedere che succede se metto un coefficiente positivo o negativo davanti al seno o al coseno. Disegnate le funzioni [math]y=sin\left(x\right)[/math] e [math]y=2\cdot sin\left(x\right)[/math]
Che cosa è successo?
Se invece disegnate [math]y=-2\cdot sin\left(x\right)[/math] e [math]y=sin\left(x\right)[/math]
In questo caso che cosa potete osservare?
Il numero davanti al seno prende il nome di ampiezza (A). Quando varia A varia il valore massimo e il valore minimo che la funzione può assumere.
Infine provate ora a disegnare [math]y=3\cdot sin\left(2\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right)[/math] a partire da [math]y=sin\left(x\right)[/math]. Occorrono tre trasformazioni: prima traslate, poi contraete orizzontalmente infine dilatate verticalmente.