É a curva que resolve o problema da Braquistócrona.[br][br]Considerando um círculo de centro C rolando sobre o eixo dos x sem deslizamento. Um ponto desta circunferência, que denotamos por A', descreve uma Ciclóide. Supondo que para o tempo t=0 o ponto A' coincide com a origem do sistema de coordenadas, obtemos a seguinte curva parametrizada, na qual o tempo é determinado pelo ângulo t.[br][br][math]\Upsilon\left(t\right)=\left(a\cdot\left(t-sin\left(t\right)\right),a\cdot\left(1-cos\left(t\right)\right)\right)[/math][br][br]Na construção abaixo a Ciclóide é dada por Lugar geométrico do ponto A', e também por sua parametrização através da curva b. A posição do ponto A' sobre a curva b, é determinada nesta construção pelo controle deslizante [math]\alpha[/math], assim ao alterarmos o valor de [math]\alpha[/math] vemos o ponto A' percorrer a curva b(t).[br][br]