Als [b]ganzrationale Funktion[/b] oder [b]Polynomfunktion[/b] [b]vom Grad n [/b]bezeichnet man eine Funktion der Form[br][br][math]f\left(x\right)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+a_{n-2}\cdot x^{n-2}+....+a_2\cdot x^2+a_1\cdot x+a_0[/math][br][br]Polynomfunktionen werden also dadurch gebildet, dass mehrere Potenzfunktionen verschiedenen Grades addiert werden. Dabei werden sie in der Regel nach Potenzen absteigend sortiert.[br][br]Man bezeichnet die Vorfaktoren [math]a_n,a_{n-1},....,a_1,a_0[/math] als [b]Koeffizienten. [br][/b][br][i]Merke: Oft werden auch einfach die Buchstaben a, b, c, d …., z als Koeffizienten verwendet. Da das Alphabeth aber nur 26 Buchstaben hat, wurde die obige Schreibweise mit dem a und den kleinen Indexen (n, n-1, …., 2, 1, 0) offiziell eingeführt. Wir schreiben bspw. [math]f\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e[/math][/i]

[math]f\left(x\right)=3x^5-4x^4+0,5x^2-x+1,5[/math] ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 5.[br][br]Die Koeffizienten lautet [math]a_5=3,a_4=-4,a_3=0,a_2=0,5,a_1=1,a_0=1,5[/math].

Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion lässt sich aufgrund der Koeffizienten und auftretenden Potenzen nur schwer vorhersagen.[br]Es lassen sich eigentlich nur zwei Aussagen treffen:[br][br][list=1][*]Die höchste Potenzfunktion dominiert den Graphen "weit außen", d.h. für[math]x\longrightarrow\pm\infty[/math]. Mit anderen Worten: Für große bzw. kleine x verhält sich der Graph wie [math]y=a_n\cdot x^n[/math].[/*][*]Die niedrigste Potenzfunktion dominiert den Graphen "nahe bei Null", d.h. der Graph verläuft so, wie für [math]y=a_k\cdot x^k+a_0[/math], wobei k die kleinste auftretende Potenz ist.[br][/*][/list]Als Beispiel schauen wir uns der Verlauf des Graphen zu den oben angebenenen Funktion an.[br][br]"Außen" verläuft der Graphen ähnlich zu [math]3x^5[/math], im Bereich der y-Achse ("nahe Null") dominiert die kleinste Potenz, also hier k=1. Der Graph verläuft wie die Gerade [math]y=-x+1,5[/math].

Man betrachte den Graphen zu[br][math]f\left(x\right)=-x^8+8x^5+x^3-x^2+2[/math][br][br]"Außen" dominiert der Graph zu [math]-x^8[/math], im Bereich der y-Achse verläuft der Graph wie eine nach unten geöffnete, gestreckte Parabel, die um 2 Einheiten nach oben verschoben ist: [math]-5x^2+2[/math]