[justify]Os “Elementos” de Euclides assumem um papel fundamental na história da Matemática, pois as definições, os axiomas ou postulados (conceitos e proposições admitidos sem demonstração e que constituem os fundamentos da obra, nomeadamente, os de ponto, reta e plano) e os teoremas, não aparecem como mera reunião de noções e resultados, mas, antes, são apresentados por uma ordem determinada que garante a validade lógica da obra. Cada teorema resulta dos axiomas, dos postulados, das definições e dos teoremas anteriores, de acordo com demonstrações rigorosas. Este método, chamado [math]\textit{axiomático}[/math], estabeleceu um sistema lógico em que, desde aí, se baseou todo o trabalho matemático (e, em geral, todo o trabalho científico). No entanto, é necessário referir que, apesar da excelência do trabalho feito nos “Elementos” de Euclides, existem imperfeições. Algumas das suas demonstrações admitem resultados sem demonstração (embora, muitas vezes, sejam intuitivos), e os seus postulados não são unanimemente aceites como necessários: nomeadamente, o [i]V Postulado[/i].[br][br]A [i]Geometria na Superfície Esférica[/i] ou, simplesmente, [i]Geometria Esférica[/i] (como doravante a iremos chamar neste trabalho), que conta com resultados que remontam à antiguidade clássica, e que tem diversas e importantes aplicações práticas ao longo da história, vai constituir um exemplo de que o [i]V Postulado[/i] é necessário nas geometrias euclidianas, pois, caso não seja adotado, obtêm-se geometrias diferentes.[br]É com estas premissas e motivações que vamos então, com as devidas considerações, tentar estabelecer uma correspondência entre Geometria no Plano (uma geometria euclidiana) e a Geometria Esférica, apontando semelhanças e evidenciando diferenças, ao mesmo tempo que proporcionaremos, talvez, o primeiro encontro do leitor com uma geometria não euclidiana. [br][br]Esta obra GeoGebra dedica-se, essencialmente, a relembrar parte da axiomática de Geometria no Plano, parte integrante dos Programas e Metas Curriculares de Matemática para o Ensino Básico (o que fazemos no Subcapítulo 2.2, de nome Geometria no Plano - Postulados de Euclides); a introduzir algumas noções basilares de Geometria Esférica (o que fazemos no Subcapítulo 3.1, de nome Geometria Esférica - Preliminares); e, com determinadas correspondências estabelecidas, a ver de que maneira essa axiomática se "concretiza" em Geometria Esférica (o que fazemos no Subcapítulo 3.2, de nome Geometria Esférica - Postulados de Euclides). Desta maneira, pretendemos contribuir para um aprofundamento e/ou complementação das aprendizagens de Matemática A dos alunos do Ensino Secundário, nomeadamente:[br][/justify][list][*]clarificando e explorando a estrutura axiomática, base fundamental e que garante a validade lógica do trabalho científico, [/*][*]introduzindo a Geometria Esférica e averiguando se é uma geometria euclidiana, e[/*][*]fomentando futuras explorações de Geometria Esférica através das bases aqui estabelecidas.[/*][/list]Para perseguir estes intuitos, as capacidades do GeoGebra são fundamentais, facilitando a compreensão de conceitos e construções, e propiciando condições ótimas para a reflexão e para a conjetura.

[justify]Consideramos no plano um referencial ortonormado [math]$Oxy$[/math] (em particular, ficamos com uma unidade de medida de comprimento definida). No plano, consideramos [i][b]retas[/b][/i] e [i][b]segmentos de reta[/b][/i] da maneira habitual. A distância entre dois pontos do plano é o comprimento do segmento de reta que tem como extremos esses dois pontos e é encontrada da maneira habitual:[br]Sejam [math]$A$[/math] e [math]$B$[/math] dois pontos do plano.[br]Então existem [math]$x_A,\ y_A,\ x_B,\ y_B \in \mathbb{R}$[/math] tais que [math]$(x_A,y_A)$[/math] e [math]$(x_B,y_B)$[/math] são as coordenadas de [math]$A[/math] e [math]$B$[/math], respetivamente, no referencial cartesiano considerado.[br]Denominamos a [math]\textit{distância entre os dois pontos}[/math] [math]$A$[/math] [math]\textit{e}[/math] [math]$B$[/math] (ou, simplesmente, [math]\textit{distância de}[/math] [math]$A$[/math] [math]\textit{a}[/math] [math]$B$[/math]), que denotamos por [math]$d(A,B)$[/math], a medida de comprimento do segmento de reta [math]$[AB]$[/math], que denotamos por [math]$\overline{AB}$[/math], e vale [math]$\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$[/math].[/justify]

[color=#0000ff][justify][b]Apliqueta 01:[/b] Nesta apliqueta tens:[br][/justify][list][*]a origem do referencial, [math]$O$[/math];[/*][*]uma reta que passa em [math]$O$[/math] fixa, [math]$r$[/math];[/*][*]um ponto arbitrário de [math]$r$[/math], [math]$A$[/math]; e[/*][*]um ponto arbitrário do plano, [math]$B$[/math].[/*][/list]Selecionando:[br][list][*]a 1.ª caixa podes visualizar as retas [math]$OB$[/math] e [math]$AB$[/math];[/*][*]a 2.ª caixa podes visualizar os segmentos de reta [math]$[OA]$[/math], [math]$[OB]$[/math] e [math]$[AB]$[/math]; e[/*][*]a 3.ª caixa podes visualizar as distâncias [math]$d(O,A)$[/math], [math]$d(O,B)$[/math] e [math]$d(A,B)$[/math].[/*][/list]Move o ponto [math]$A$[/math] ao longo da reta [math]$r$[/math] e o ponto [math]$B$[/math] por todo o plano, e observa de que maneira as distâncias [math]$d(O,A)$[/math], [math]$d(O,B)$[/math] e [math]$d(A,B)$[/math] variam.[/color]

[justify]No plano, uma [math]\textit{circunferência}[/math] é formada pelos pontos que estão à mesma distância, o [math]\textit{raio}[/math] (um número real positivo arbitrário), de um ponto fixo, o [math]\textit{centro}[/math], e um [math]\textit{círculo}[/math] é o conjunto de todos os pontos que estão a uma distância ao centro não superior ao raio.[br]Quando não houver ambiguidade, chamamos também raio a qualquer segmento de reta unindo um ponto da circunferência ao seu centro (portanto, tal como é habitual em textos de geometria, existe aqui um abuso de linguagem: raio de uma circunferência é utilizado tanto como sendo um segmento de reta como sendo uma medida de comprimento).[br]Da definição de circunferência vem que quaisquer dois raios (aqui já no sentido de segmentos de reta) têm a mesma medida de comprimento.[/justify]

[color=#0000ff][justify][b]Apliqueta 02:[/b] Nesta apliqueta move o ponto [math]$A$[/math] para obteres uma circunferência de centro em [math]$O$[/math] e com uma medida de raio qualquer, e move o ponto [math]$B$[/math] ao longo dessa circunferência para comparares a medida de comprimento de qualquer raio.[/justify][/color]