Bildquelle: https://kayamo.eu/toepferkurse/kurs-toepfern-an-der-drehscheibe-anfaengerkurs/ [1.12.24]
Rotationskörper und ihr Volumen
Rotationskörper
Gefäße, die auf einer Töpferscheibe geformt wurden, sind im Idealfall rotationssymmetrisch. Das bedeutet, dass sie sich bei der Drehung um eine Achse nicht verändern.[br]Sobald diese Eigenschaft gegeben ist, genügt es zur Bestimmung seines Volumens die Kurve zu kennen, die seinen Rand beschreibt. Diese Kurve muss so gewält sein, dass sich bei deren Rotation um die x-Achse der zugehörige Rotationskörper ergibt.
Aufgabe 1: Rotationskörper
a) Der Graph der Funktion f rotiert im Intervall I um die x-Achse. Beschreibe die Form des dabei entstehenden Rotationskörpers.[br] i) [math]f\left(x\right)=\sqrt{x-1}[/math] [math]I=\left[1;3\right][/math][br] ii) [math]f\left(x\right)=\frac{1}{x}[/math] [math]I=\left[1;4\right][/math][br] iii) [math]f\left(x\right)=2,5[/math] [math]I=\left[-2;6\right][/math][br]b) Wähle eine weitere Funktion f und beschreibe die Form des dabei entstehenden Rotationskörpers.[br][br]Im nachfolgenden Applet kannst du die Funktionsgraphen und die entstehenden Rotationskörper anzeigen lassen.
Problemstellung
Gegeben ist eine 10cm hohe Schüssel, dessen äußerer Rand durch den Graphen einer Funktion f mit [math]f\left(x\right)=\sqrt{6x+4}[/math] im Intervall [math]I=\left[0;10\right][/math] modellhaft beschrieben ist.[br]Ihr innerer Rand ist gegeben durch den Graphen der Funktion [math]g\left(x\right)=\frac{7}{3}\sqrt{x-1}[/math] im Intervall [math]I[/math].[br][br]Wie lässt sich das Volumen dieses rotationssymmetrischen Körpers bestimmen? Mit viel Wasser lässt sich die Schüssel maximal befüllen?
Erarbeitung 1: Orientierter Flächeninhalt A
Bevor wir zum Volumen kommen, betrachten wir zunächst genauer den orientierten Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse.
Mit welchem mathematischen Werkzeug bestimmen wir orientierte Flächeninhalte? [br][br]
Bevor wir Integrale kennengelernt haben: Mit welchen Objekten haben wir Flächeninhalte zwischen Graph und x-Achse bestimmt?
Die Fläche, die der Graph der Funktion f über [a;b] mit der x-Achse begrenzt, wird durch Rechtecke angenähert. [br]
Gib die Formel zur Berechung des Flächeninhaltes eines Rechtecks an. [br]Ersetze allgemeine Variablen durch gegebene allgemeine Punkte des Graphens von f.[br][br]Tipp: Betrachte die nachfolgende Skizze.
Orientierter Flächeninhalt durch Untersummen
Bildquelle: Lambacher Schweizer, Mathematik für Gymnasien, Kursstufe Basisfach, S.100
Eine Annäherung an den Inhalt der Fläche erhält man, wenn man die Flächeninhalte aufsummiert.
Wie verändert sich die Näherung der Untersumme an das Integral für große oder kleine n-Werte?[br][br]Wie sollte die Breite der Rechtecke gewählt werden, um eine möglichst genaue Näherung zu erreichen?
Im Grenzfall, also wenn die Breite der Rechtecke unendlich klein bzw. die Anzahl der Rechtecke in einem Intervall unendlich groß werden, wird aus dieser Summe ein Integral.
Erarbeitung 2: Rotationskörpervolumen V
Zuvor haben wir den Flächeninhalt A durch Rechtecke angenähert. Welche Körper entstehen nun daraus bei Rotation um die x-Achse?[br][br]Tipp: Betrachte die nachfolgende Darstellung.
Bildquelle: Lambacher Schweizer, Mathematik für Gymnasien, Kursstufe Basisfach, S.100
Gib die Formel zur Berechung des Volumens von Zylindern an. [br]Ersetze allgemeine Variablen durch gegebene allgemeine Punkte des Graphens von f.[br][br]Tipp: Betrachte die Skizze.[br]Tipp: Leite die Formel über die Fläche einer Kreisscheibe her.
Im Grenzfall, wenn die Breite der Kreisscheiben unendlich klein wird, wird aus dieser Summe ein Integral. [br][br]Dabei muss die Formel für das Zylindervolumen [br][math]V=\pi\cdot\left(f\left(x\right)\right)^2\cdot h[/math][br]beachtet werden. [br][br]Die Zylinderbreite h geht gegen 0. Daraus ergibt sich die Integralschreibweise:[br][br]
Forme den Term mit Rechenregeln für Integrale um. [br][br]Tipp: Die Rechenregeln stehen im Buch auf Seite 87.
Lösung der Problemstellung
Wir erinnern uns:[br][br]Gegeben ist eine 10cm hohe Schüssel, deren äußerer Rand beschrieben ist durch den Graphen der Funktion f mit
Ihr innerer Rand ist gegeben durch den Graphen der Funktion g mit
Bestimme das Volumen des gesamten rotationssymmetrischen Körpers.[br]Trage das Ergebnis deiner Berechung mit Einheit in das Antwortkästchen ein.
Mit wie viel Wasser lässt sich die Schüssel befüllen. [br]Trage das Ergebnis deiner Berechung mit Einheit in das Antwortkästchen ein.
Zusatzaufgabe:[br]Welche Menge an Ton wird für die Herstellung der Schale benötigt?[br]Trage das Ergbebnis deiner Berechung mit Einheit in das Antwortkästchen ein.