[table][tr][td][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n#material/xx3wrjkn][img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACUAAAA2CAYAAABA3FA2AAAAAXNSR0IArs4c6QAAAARnQU1BAACxjwv8YQUAAAAJcEhZcwAADsQAAA7EAZUrDhsAAACpSURBVGhD7dkxCsJAFEXR/wZiJWJhIW7MUnApriwLEFdhZy0iiN8M2tjdLr94h8wEUt3yQaRhyMiMiH7mpulRv0vU/Gm/dymOohxFOYpyFOUoylGUoygdd9tye0qv1upFTUVenoSjKEdRjqIcRTmKchTlKErX/abgyLvUG3nKs5cn4ijKUZSjKEdRjqIcRRWN6j9six2dxkMu9YiV7t+Ps8l45iJu73V8AE/fHKUjFbbZAAAAAElFTkSuQmCC[/img][/url][/td][td][size=50] this activity is a page of [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color][br] [url=https://www.geogebra.org/m/y9cj4aqt][color=#0000ff][u][i][b]elliptic functions & bicircular quartics & . . .[/b][/i][/u][/color][/url]([color=#ff7700][i][b]27.04.2023[/b][/i][/color])[/size][/td][/tr][/table][size=85][i][color=#ff00ff][right]translation is in progress[/right][/color][/i][/size]

[size=85][b][color=#cc0000]2[/color][/b]-teilige Schnitte der [b][i][color=#980000]Möbiuskugel[/color][/i][/b] mit einer anderen [b][i][color=#ff7700]Quadrik[/color][/i][/b] besitzen [b][color=#cc0000]4[/color][/b] paarweise [b][i][color=#0000ff]orthogonale[/color][/i][/b] [b][i][color=#b45f06]Symmetriekreise[/color][/i][/b].[br]Mit einer geeigneten [b][i][color=#0000ff]Möbiustransformation[/color][/i][/b] kann man erreichen, dass die Koordinatenebenen [b][i][color=#b45f06]Symmetrie-Ebenen[/color][/i][/b] sind,[br]und dass die [b][i][color=#85200c]Quadrik[/color][/i][/b] - in diesem Fall ein [b][i][color=#85200c]elliptischer Zylinder[/color][/i][/b] - den [b][i][color=#bf9000]Einheitskreis[/color][/i][/b] in der [math]xy[/math]-Ebene nicht schneidet.[br][b][i][color=#274e13]Stereographische Projektion[/color][/i][/b] ergibt eine [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartik[/color][/i][/b] mit der angegebenen Gleichung:[br][/size][list][*][size=85][math]\left(x^2+y^2\right)^2-2\cdot A_x\cdot x^2-2\cdot B_y\cdot y^2+1=0[/math][br][/size][/*][/list][size=85]Hieraus lassen sich die [b][i][color=#ff7700]Scheitel[/color][/i][/b], das sind die Schnittpunkte mit den Achsen und - falls vorhanden - mit dem [b][i][color=#bf9000]Einheitskreis[/color][/i][/b] [br]berechnen: zB. [math]s_x=\sqrt{A_x+\sqrt{A_x^2-1}}[/math] und [math]s_y=\sqrt{B_x+\sqrt{B_x^2-1}}[/math].[br]Vor allem sind mit dieser Gleichung die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] berechenbar (siehe [math]\hookrightarrow[/math] [b][i][u][color=#0000ff]die nächste Aktivität[/color][/u][/i][/b]).[br]Damit läßt sich überprüfen, dass die [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] [b][i][color=#0000ff]Winkelhalbierende[/color][/i][/b] der [b][i][color=#ff0000]Kreisbüschel[/color][/i][/b] durch die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] sind,[br]und somit [b][i][color=#ff00ff]Lösungskurven[/color][/i][/b] der zugehörigen [b][i][color=#9900ff]elliptischen Funktion.[/color][/i][/b][br][br]Eine Parameterdarstellung der [b][color=#cc0000]2[/color][/b]-teiligen [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartik[/color][/i][/b] ergibt sich aus den Projektionen:[br]senkrecht in die [math]xy[/math]-Ebene projiziert (Schnitt des [b][i][color=#b45f06]Zylinders[/color][/i][/b] mit der Ebene): [b][i][color=#ff7700]Ellipse[/color][/i][/b] [math]u\mapsto a\cdot \mathbf{cos}\left(u\right)+i\cdot \mathbf{sin}\left(u\right)[/math],[br]mit [math]a=\frac{2\cdot s_x}{s_x^2+1}[/math] und [math]b=\frac{2\cdot s_y}{s_y^2+1}[/math]. Die Schnittkurve mit der [b][i][color=#85200c]Einheitskugel[/color][/i][/b] [b][i][color=#274e13]stereographisch[/color][/i][/b] in die komplexe Ebene projiziert, [br]ergibt [math]\mathbf{bizQu}\left(u\right)=\frac{1}{1\pm\sqrt{1-a^2\cdot \mathbf{cos}^2\left(u\right)-b^2\cdot \mathbf{sin}^2\left(u\right)}}\cdot\left(a\cdot \mathbf{cos}\left(u\right)+i\cdot b\cdot \mathbf{sin}\left(u\right)\right)[/math].[br]Ein Nachweis, dass es sich um [b][i][color=#ff00ff]Lösungskurven[/color][/i][/b] der zugehörigen [b][i][color=#9900ff]elliptischen Funktion[/color][/i][/b] handelt, scheitert [br]an den aufwändigen Rechnungen. [/size]