Hier werden einfache Exponentialfunktionen [math]f\left(x\right)=a^x[/math] mit unterschiedlicher Basis a untersucht.[br]
Gezeichnet sind die Funktionen [math]f\left(x\right)=a^x[/math], wobei sich die Basis [math]a>1[/math] verändern lässt, und [math]g\left(x\right)=x+1[/math]. Sowohl die Gerade als auch die Exponentialfunktion verlaufen durch den Punkt [math]$A(0|1)$[/math].
Verändern Sie die Basis [math]a[/math] und beobachten Sie das Verhalten der Exponentialfunktion in Bezug zur Geraden. Was ist speziell an dieser Geraden?[br][size=85]Hinweis: Zur besseren Beobachtung des Verhaltens der Funktionen um den Punkt [math]A[/math] können Sie die Zoom-Funktion verwenden.[/size]
Die Exponentialfunktion schneidet die Gerade immer in zwei Punkten, ausser bei einer einzigen Basis. Bei dieser speziellen Basis berührt die Exponentialfunktion die Gerade.
Bei einer ganz speziellen Basis berührt der Graph der Exponentialfunktion die Gerade. Bei welcher Basis ist dies der Fall?[br][size=85]Hinweis: Benutzen Sie die Zoom-Funktion.[/size]
Dies ist beim Wert [math]a=2.718281828459...=e[/math] der Fall.
[list][*]Die Zahl [math]e[/math] heisst eulersche Zahl und hat ähnliche mathematische Eigenschaften wie . [br]Für die Exponentialfunktionen hat die Basis [math]e[/math] eine Vorrangstellung eingenommen. Diese Zahl wird sehr oft als Basis verwendet.[/*][*]Die Zahl [math]e[/math] gehört zu den wichtigsten Konstanten in der Mathematik. Sie hat ähnliche Eigenschaften wie die Zahl [math]\pi[/math] (sie ist transzendent).[/*][*]Die Zahl lässt sich auch als Summe von Brüchen definieren, nämlich: [math]$e=1+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+\ldots=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$[/math][br][/*][/list]