[right][size=50]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]geogebra-books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[/size][br][/right][size=85]Die Geraden durch den Ursprung der Gausssen Zahlenebene bilden ein [color=#741B47][i][b]elliptisches[/b][/i][/color] "Kreisbüschel", [br]die Büschelpunkte sind 0 und[/size] [math]\infty[/math].[br][size=85]Die zu den Ursprungsgeraden orthogonalen konzentrischen Kreise bilden ein [color=#ff0000][i][b]hyperbolisches[/b][/i][/color] Kreisbüschel [br]mit denselben Grundpunkten. [br]Isogonaltrajektorien sind [i][b][color=#3c78d8]logarithmische[/color] Spiralen[/b][/i] um 0 und[/size] [math]\infty[/math]. [br][size=85]Die Kurvenscharen erhält man mit der Funktion[/size] [math]z\mapsto e^{c\cdot z}[/math]: [br][size=85]zB. sind für[/size] [math]c=1[/math] [size=85]die Kurven[/size] [math]y=const,x\mapsto e^{x+i\cdot y}=e^x\cdot e^{i\cdot y}=e^x\cdot\left(cos\left(y\right)+i\cdot sin\left(y\right)\right)[/math] [size=85]die Ursprungsgeraden, [br]und für[/size] [math]x=const[/math] [size=85]die Kurven[/size] [math]y\mapsto e^{^{x+i\cdot y}}=e^x\cdot\left(cos\left(y\right)+i\cdot sin\left(y\right)\right)[/math] [size=85]die konzentrischen Kreise um den Ursprung.[br]Für nicht-reelles[/size] [math]c[/math] [size=85]erhält man für[/size] [math]y=const[/math] [size=85]die [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b][size=85][i][b][color=#3c78d8]logarithmischen[/color][/b][/i][/size][/b][/i][/color] [/size] Spiralen[/size] [math]x\mapsto e^{c\cdot\left(x+i\cdot y\right)}[/math][size=85], [br]welche die Ursprungsgeraden unter dem Winkel[/size] [math]\gamma=arg\left(c\right)[/math] [size=85]schneiden.[/size][br][size=85]In [color=#980000][i][b]ge[/b][/i][/color][/size][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][size=85][color=#980000][i][b]gebra[/b][/i][/color] lauten die Schargleichungen:[/size][br][list][*][math]\mathbf{Folge}(\mathbf{Kurve}(e^{c\cdot(s+i\cdot t)},s,-r_s,r_s),t,-r_t,r_t,d)[/math], [math]d=\Delta[/math] [size=85]ist die Schrittweite[/size][/*][/list][size=85]Für die Kreise ist[/size] [math]c=1[/math][size=85], im [/size][size=85][color=#ff0000][i][b]hyperbolischen[/b][/i][/color][/size][size=85] Falle sind die Parameter [math]s[/math] und [math]t[/math] vertauscht.[/size][br][size=85]Im [/size][size=85][size=85][i][b][color=#3c78d8]logarithmischen[/color][/b][/i][/size] Falle wirken sich die Parameter auf die [i]Streckung[/i] wie auf den [i]Drehwinkel [/i]aus, [br]die Wirkung ist daher etwas unübersichtlich![br][br]Die Kreise durch zwei beliebige Punkte[/size] [math]p_1[/math] [size=85]und[/size] [math]p_2[/math] [size=85]der Möbiusebene erzeugen ein [color=#741B47][i][b]elliptisches[/b][/i][/color] Kreisbüschel, [br]die dazu orthogonalen Kreise bilden ein [/size][size=85][size=85][color=#ff0000][i][b]hyperbolisches[/b][/i][/color] [/size] Kreisbüschel. [br]Isogonaltrajektorien dazu dind sie [color=#3d85c6][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color] um die beiden Grundpunkte.[br]Im Applet unten werden die orhogonalen Kreis- bzw. [/size][size=85][size=85][color=#3d85c6][i][b]Loxodromen[/b][/i][/color][/size]scharen mit angezeigt.[/size][br][size=85]In [color=#980000][i][b]ge[/b][/i][/color][/size][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][size=85][color=#980000][i][b]gebra[/b][/i][/color] lauten die Schargleichungen für die [/size][size=85][size=85][color=#3d85c6][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color][/size] wie folgt:[/size][br][list][*][math]\mathbf{Folge}( \mathbf{Kurve}\left( (p_2\cdot e^{c (α + ί β)} - p_1) / (e^{c (α + ί β)} - 1)\right), α, -10, 10), β, -π, π, π / b)[/math][br][/*][/list][u][i]Begründung:[/i][/u] [size=85]Die Möbiustransformation[/size] [math]z\mapsto\frac{z-p_1}{z-p_2}[/math] [size=85]bildet[/size] [math]p_1[/math] [size=85]auf 0 und[/size] [math]p_2[/math] [size=85]auf[/size] [math]\infty[/math] [size=85]ab. [/size][br][size=85]Die inverse Abbildung ist[/size] [math]w\mapsto\frac{p_1\cdot w-p_1}{w-1}[/math]. [br][size=85]Die [/size][size=85][size=85][color=#3d85c6][i][b]logarithmischen[/b][/i][/color][/size] Kurven[/size] [math]w=e^{c\cdot z}[/math] [size=85]werden also durch[/size] [math]z\mapsto\frac{p_2\cdot e^{c\cdot z}-p_1}{e^{c\cdot z}-1}[/math] [size=85][br]auf die [/size][size=85][size=85][color=#3d85c6][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color][/size] um[/size] [math]p_1[/math] [size=85]und[/size] [math]p_2[/math] [size=85]abgebildet[/size].[br][br]