[size=85]A közoktatás matematika anyagában szerepel az [url=https://www.geogebra.org/m/sQmkjXz5]exponenciális[/url] és [url=https://www.geogebra.org/m/rrxtxwcy]logaritmus[/url] függvény fogalma. Azt is megtanuljuk, hogy az azonos alapú exponenciális függvények és logaritmus függvények egymás[url=https://www.geogebra.org/m/n5SfnStx] inverz[/url]ei.[/size]

[size=85]Mekkora az [math]x\mapsto a^x[/math][/size] [size=85]és az [math]x\mapsto log_ax[/math] függvények grafikonjainak távolsága, ha [math]a>1[/math][/size][size=85]?[br]Vizsgálódjunk a GeoGebrával![/size]

[size=85]Az látszik, hogy van olyan alap, amelynél a két grafikon metszi egymást. Ekkor a távolságuk 0. [br][/size][size=85]A kérdés adódik:[br][/size][size=85]Milyen [i]a[/i]-ra van a két függvény grafikonjának közös pontja?[br][br][/size][size=85]Először vizsgáljuk a [math]h\left\langle x\right\rangle=a^x-x[/math][/size] [size=85]függvényt! Milyen [i]a-[/i]ra van a függvénynek zérushelye?[/size]

[size=85]Az analízis eszközeivel meg lehet mutatni, hogy ha 1< [i]a [/i]<[math]e^{e^{-1}}\approx1,44466[/math] [/size], [size=85]akkor a [i]h[/i] függvénynek van zérushelye. Ekkor az [i]f[/i] függvény grafikonja metszi az [i]y[/i] = [i]x[/i] egyenest. Az inverz függvények grafikonjai egymás tükörképei az említett egyenesre vonatkozóan, így az [i]f[/i] és [i]g[/i] függvények grafikonjai is metszik egymást, így a távolságuk 0.[/size]

[size=85]A keresett távolságot megkaphatjuk úgy, hogy megkeressük pl. az [i]f[/i] függvény grafikonján azt a pontot, melyben az érintő pérhuzamos az [i]y [/i]= [i]x [/i]egyenletű egyenessel. A keresett távolság e pont és az [i]x[/i] = [i]y [/i]egyenes távolságának a kétszerese.[br][/size][size=85]Az analízis eszközeivel kaphatjuk, hogy a keresett pont a [math]\left\langle-\frac{ln\left\langle lna\right\rangle}{lna};\frac{1}{lna}\right\rangle[/math][/size][size=85], és a távolság [math]\sqrt{2}\left\langle\frac{ln\left\langle lna\right\rangle}{lna}+\frac{1}{lna}\right\rangle[/math][/size].[br][size=85]A számolás a GeoGebrával:[/size]

[math]f\left\langle0\right\rangle=1>0[/math][br][math]f\left\langle1\right\rangle=a<1[/math][br][size=85]Az [i]f [/i] szigorúan monoton csökkenő, folytonos függvény.[br]Az [math]x\mapsto x[/math] függvény szigorúan monoton növekvő és folytonos.[br][/size][size=85]A [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Bolzano%E2%80%93Darboux-t%C3%A9tel]fentiekből következik[/url], hogy az [i]f[/i] függvény grafikonja [i]y = x [/i]egyenes metszi egymást a [math]\lceil0;1\rceil[/math] intervallumon.[br][/size][size=85]Az inverz tulajdonság miatt ez a metszéspont illeszkedik a [i]g[/i] grafikonjára is. Ez azt jelenti, hogy a két függvény grafikonjának legalább egy metszéspontja van. Az a kérdés követhet ezután, hogy lehet-e több metszéspont?[br][/size][size=85]Ha az előző appletben kis [i]a[/i] értékek esetén vizsgálódunk akkor gyanú ébredhet bennünk.[/size]

[size=85]Az [i]f[/i] és [i]g [/i]grafikonjainak első koordinátai az [math]\frac{f\left\langle x\right\rangle}{g\left\langle x\right\rangle}-1[/math] függvény zérushelyei. Mint látható, e zérushelyek száma lehet 3 is és 1 is. Most már az a kérdés, hogy milyen alap esetén hány zérushely van. A problémát [url=http://www.math.u-szeged.hu/mathweb/index.php/hu/munkatarsaink?id=18&bolyaiid=48]Dr. Németh József[/url] és Dr. Szilassi Lajos tanár urak is megoldották.[/size]