Acest material ilustrează, prin intermediul unei animaţii, un mod de construcţie a [b]centrului sferei circumscrise[/b] tetraedrului tridreptunghic, notat cu [b]Q[/b]. Animaţia poate fi pornită, întreruptă şi resetată cu ajutorul butoanelor din partea stângă a ferestrei inferioare. Butonul cu săgeată verde, de sub acestea, permite realizarea secvenţială a construcţiei.[br]La finalul acestei animaţii, apar, în partea dreaptă a ferestrei inferioare, butoanele ce comandă construcţia [b]sferei circumscrise[/b] tetraedrului tridreptunghic, prin [b]rotaţia[/b] unui [b]cerc[/b] ce conţine vârfurile [b]O[/b] şi [b]A[/b] ale tetraedrului, în jurul [b]diametrului[/b] ce porneşte din [b]O[/b].
Demonstraţi.[br]Dacă M[sub]1[/sub] ,M[sub]2 , [/sub]M[sub]12 [/sub]şi M[sub]3 [/sub]sunt mijloacele muchiilor [OA], [OB], [AB] şi [OC], atunci, în paralelipipedul de bază OM[sub]1[/sub]M[sub]12[/sub]M[sub]2 [/sub]şi muchie laterală [OM[sub]3[/sub]], vârful opus lui O este egal depărtat de vârfurile tetraedrului tridreptunghic OABC.
În [math]\Delta[/math] AOB, [math]\angle AOB_{ }=90^{\circ}[/math] şi M[sub]12 [/sub]este mijlocul lui [AB], deci M[sub]12[/sub]A = M[sub]12[/sub]B = M[sub]12[/sub]O.[br]QM[sub]12 [math]\parallel[/math] [/sub]OM[sub]3 [math]\perp[/math][/sub] (OAB) [math]\Rightarrow[/math] QM[sub]12 [math]\bot[/math][/sub] (OAB) [math]\Rightarrow[/math] QA = QB = QO.[br]Analog, se demonstrează că QB = QO = QC.
Exprimaţi raza sferei circumscrise tetraedrului tridreptunghic OABC, [b]R[/b], în funcţie de [b]a[/b], [b]b[/b], [b]c[/b].
Conform întrebării precedente, raza sferei circumscrise tetraedrului tridreptunghic OABC, R, este diagonala paralelipipedului dreptunghic OM[sub]1[/sub]M[sub]12[/sub]M[sub]2[/sub]M[sub]3[/sub]M[sub]31[/sub]QM[sub]23[/sub], deci [math]R^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2+\left(\frac{c}{2}\right)^2\Leftrightarrow R=\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}[/math]
Construiţi proiecţia lui Q pe planul (ABC).
Fie Q' proiecţia lui Q pe planul (ABC). Atunci [math][/math] [math]\Delta QQ'B\equiv\Delta QQ'C\equiv\Delta QQ'A[/math] (I. C.), deci Q'B = Q'C = Q'A. Aşadar, Q' este centrul cercului circumscris triunghiului ABC.
Calculaţi distanţa de la Q la planul bazei tetraedrului tridreptunghic OABC.
Dacă R' este raza cercului circumscris [math]\Delta[/math] ABC, atunci [math]S_{\Delta ABC}=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R'}\Leftrightarrow R'=\frac{a\cdot b\cdot c}{4S_{\Delta ABC}}[/math] (1)[br][math]S_{\Delta ABC}=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}[/math] (2)[br]Din (1) şi (2) [math]\Rightarrow[/math] [math]R'=\frac{abc}{4\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}[/math]. (3)[br]În [math]\Delta[/math] QQ'A, Q'Q[sup]2[/sup] + Q'A[sup]2[/sup] = QA[sup]2[/sup] [math]\Rightarrow[/math][sup] [/sup] [math]Q'Q=\sqrt{R^2_{ }-R'^2}[/math][sup] [/sup] [br]
Calculaţi distanţa de la Q la planul bazei tetraedrului tridreptunghic OABC.
Dacă R' este raza cercului circumscris [math]\Delta[/math] ABC, atunci [math]S_{\Delta ABC}=\frac{a\cdot b\cdot c}{4R'}\left(\right)\Leftrightarrow\left(\right)R'=\frac{a\cdot b\cdot c}{4S_{\Delta ABC}}[/math] (1)[br][math]S_{\Delta ABC}=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}[/math] (2)[br]Din (1) şi (2) [math]\Rightarrow[/math] [math]R'=\frac{abc}{4\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}[/math]. (3)[br]În [math]\Delta[/math] QQ'A, Q'Q[sup]2[/sup] + Q'A[sup]2[/sup] = QA[sup]2[/sup] [math]\Rightarrow[/math][sup] [/sup] [math]Q'Q=\sqrt{R^2_{ }-R'^2}[/math][sup] [/sup] [br]