[size=100][size=150]Anstatt Länge sagt man auch Betrag eines Vektors und zur Bezeichnung der Länge des Vektor werden Betragsstriche um den Vektor gesetzt. [br]Also meint [math]|\vec{v}|[/math] den Betrag/die Länge des Vektors [math]\vec{v}[/math].[/size][/size][br][size=150][br]Betrachte den Vektor [math]\text{\vec{v}}[/math] im Bild unten und verändere seine Länge, indem du das Kreuz an der Pfeilspitze verschiebst. Wie verändert sich dabei die Länge des Vektors, also [math]\text{|\vec{v}|}[/math]?[br][size=150][br]Wie könnte die allgemeine Formel für die Berechnung der Länge eines Vektors im zwei-dimensionalen Raum lauten? [br][/size][br]Erinnere dich dabei, dass jeder Vektor im zwei-dimensionalen Raum folgende allgemeine Form hat [br][math]\text{\vec{v}=\binom{x-Koordinate}{y-Koordinate}}[/math][/size], wir schreiben auch [math]\text{\vec{v}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}[/math]
[size=85]Stelle dir den Vektorpfeil als Hypotenuse und seine x- und y-Komponenten als Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks vor.[br]Welche grundlegende Formel zur Berechnung der Hypotenuse habt ihr schon kennengelernt?[/size][size=85][size=150][br][br][br][br][br]----------------------------------------------------------------[br][br][br][/size][br][br][/size]
[size=150]Betrachte den Vektor [math]\text{\vec{v}}[/math] und verändere seine Länge, indem du den Punkt A verschiebst. Wie verändert sich dabei der Wert von [math]\text{|\vec{v}|}[/math]?[br][br]Wie könnte die allgemeine Formel für die Berechnung der Länge eines Vektors im drei-dimensionalen Raum lauten? [br][/size][size=150]Erinnere dich dabei, dass die jeder Vektor im drei-dimensionalen Raum folgende allgemeine Form hat [math]\text{\vec{v}= \begin{pmatrix} x-Koordinate \\ y-Koordinate \\ z-Koordinate \end{pmatrix}}[/math][/size], wir schreiben auch [math]\text{\vec{v}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}}[/math]
[size=50][size=85][size=50][size=85]Betrachte das Dreieck CBO, dass in einen rechten Winkel in [math]\gamma[/math] hat.[/size][/size]Wie lässt sich die Länge der Strecke [math]\text{\vec{OB}}[/math] berechnen? [br]Denke wieder an rechtwinklige Dreiecke und die Berechnung der Hypotenuse. [br][br][/size][/size][size=50][size=85]Betrachte jetzt das Dreieck ABO, dass in [math]\beta[/math] einen rechten Winkel hat. [/size][/size][size=50][size=85]Genauso wie [math]\text{\vec{OB}}[/math] kannst du jetzt auch die Länge von [math]\text{\vec{v}}[/math] rechnerisch bestimmen.[/size][/size][br][br][br][br]----------------------------------------------------------------------[br][br][br][br]
Stelle eine allgemeine Formel auf wie man die Länge von Vektoren berechnen kann, egal wie viele Dimensionen der Raum hat, den wir betrachten (tatsächlich rechnen wir in Mathe manchmal mit Objekten in Räume, die mehr als drei Dimensionen haben). [br][br]Vergleiche dazu die Formeln zur Berechnung der Länge von [math]\text{\vec{v}}[/math] in 2D und 3D. Überlege dir, wie die Länge von [math]\text{\vec{v}}[/math] berechnet werden kann, wenn der Vektor mehr als zwei oder drei Koordinaten hat. Ein solcher Vektor hat die Form [math]\text{\vec{v}=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ ... \\ ... \end{pmatrix}}[/math].
Die Formel lautet:[br][math]\text{\vec{|v|}=\sqrt{x_1^{\:2}+x_2^2+x_3^{\:2}+x_4^2+...}}[/math]