Trace a reta tangente a um ponto o sobre um círculo de centro desconhecido

1. Seja o círculo [math]c1[/math] de centro desconhecido e [math]A[/math] um ponto de [math]c1[/math].[br][br]2. Marque [math]B[/math] um outro ponto de [math]c1[/math] e trace o círculo [math]c2[/math] de centro [math]A[/math] e raio [math]\overline{AB}[/math].[br][br]3. Marque [math]C[/math] o ponto de interseção de [math]c1[/math] e [math]c2[/math].[br][br]4. Sabemos que o segmento [math]\overline{BC}[/math] é paralelo à reta tangente que queremos encontrar, logo, basta traçarmos essa paralela, para isso, trabalharemos com a "perpendicular da perpendicular".[br][br]5. Encontre [math]D[/math], o ponto médio de [math]\overline{BC}[/math].[br][br]6. Trace a reta [math]r[/math], basta ligar os pontos [math]\text{A}[/math] e [math]D[/math]. A reta em questão é perpendicular à tangente que queremos encontrar.[br][br]7. Para encontrar a reta perpendicular à [math]r[/math], basta traçar os círculos [math]c3[/math] e [math]c4[/math], centrados em [math]B[/math] e [math]D[/math], com raios [math]\overline{AD}[/math] e [math]\overline{BD}[/math], respectivamente.[br][br]8. O ponto de interseção de [math]c3[/math] e [math]c4[/math] é o ponto [math]E[/math], ao ligá-lo com [math]A[/math], encontramos a reta [math]t[/math], tangente à [math]c1[/math] que passa por [math]A[/math].

Analisando o triângulo [math]\Delta ABC[/math], percebemos que como [math]\overline{AB}=\overline{AC}[/math], o triângulo é isósceles. [br][br]Como [math]D[/math] é o ponto médio do segmento de [math]\overline{BC}[/math], sabemos que a altura do triângulo isósceles [math]\Delta ABC[/math] passa por [math]D[/math], logo:[br][center][math]A\widehat{D}B=A\widehat{D}C=90º[/math][br]e[br][math]\overline{AD}\bot\overline{BC}[/math][/center][br]Seja [math]O[/math] o centro desconhecido do círculo [math]c1[/math]. [br][br]Pelo critério LLL sabemos que [math]\Delta BDO[/math] e [math]\Delta CDO[/math] são congruentes e, por consequência:[br][br][center][math]B\widehat{D}O=C\widehat{D}O=90º[/math][br]e[br][math]\overline{OD}\bot\overline{BC}[/math][/center][br]De modo que agora sabemos que os pontos [math]O[/math], [math]D[/math] e [math]A[/math] são colineares.[br][br]Como são colineares e como [math]\overline{BC}\bot\overline{OA}[/math], basta traçarmos uma paralela à [math]\overline{BC}[/math] pelo ponto [math]A[/math], para encontrarmos a tangente desejada.[br][br]Como [math]\overline{AD}=\overline{BE}[/math] e [math]\overline{BD}=\overline{AE}[/math] por construção, temos um retângulo [math]ADBE[/math], fazendo com que [math]\overline{DB}[/math] seja paralelo à [math]\overline{AE}=t[/math].[br][br]Portanto encontramos a reta [math]t[/math] tangente ao círculo [math]c1[/math] que passa pelo ponto [math]A[/math].