Jäähdytysripa

[br][br]Kuumana käyvää elektronista komponenttia jäähdytetään pitkällä jäähdytysrivalla. Kun komponentin lämpötila on [math]T_H = 100^\circ C[/math] , ja ympäröivän ilman lämpötila on [math] T_A = 30^\circ C[br][/math], noudattaa rivan lämpötilaprofiili seuraavaa yhtälöä:[br][br][math][br]T(x) = T_A + (T_H - T_A) \mathrm{e}^{- \lambda x}[br][/math][br][br], missä [math] x [/math] on pisteen etäisyys komponentista, ja [math] \lambda [/math] on kerroin joka riippuu rivan muodosta ja materiaalista. Olkoon tämän tehtävän puitteissa [math] \lambda = 12 [/math] (tyypillinen arvo). Oletetaan nyt että rivan jäähdytysteho on suoraan verrannollinen siihen lämmön määrään jonka ripa voi siirtää ympäröivään ilmaan. Tämä lämpömäärä voidaan visualisoida pinta-alana, joka jää suoran [math] T = 30^\circ C [/math] yläpuolelle.[br]
[br][br](a) Hahmottele käyrä [math] T(x) [/math].[br][br](b) Olkoon jäähdytystehon yhtälö yksinkertaisesti vakio [math] k [/math] kertaa yllä mainittu pinta-ala. Kirjoita jäähdytystehon yhtälö rivan pituuden[math] \ell [/math] funktiona.[br][br](c) Olkoon nyt [math] k=5 [/math] ja jäähdytysteho [math] P=20 [/math]; mikä on rivan pituus?[br][br](d) Olkoon nyt [math] k=5 [/math] ja jäähdytysteho [math] P=50 [/math]; mikä on rivan pituus?[br][br]
RATKAISU:[br][br](a)[br]
(b)[br]Nyt jäähdytysripa voi olla pidempi tai lyhyempi riippuen [math] \ell [/math]:n arvosta. Jos siis [math] \ell [/math] on pieni, silloin pinta-ala, joka jää käyrän [math] T(x) [/math] ja käyrän [math] T=30 [/math] väliin jää pieneksi, ja näin ollen jäähdytystehokin on pieni. Rivan pituuden kasvaessa jäähdytysteho kasvaa, mutta ei suinkaan lineaarisesti, vaan laskevan eksponenttifunktion mukaisesti. Tahdomme tietää jäähdytystehon, joten meidän täytyy laskea tämä mainittu pinta-ala. Kirjoitetaan integraali niin, että rivan pituus [math] \ell [/math] määritetään tämän määrätyn integraalin ylemmäksi rajaksi, ja nolla alemmaksi rajaksi.[br][br][math][br] P(\ell) = k \cdot A = k \cdot \int_0^\ell (T(x)-T_A)dx[br][/math][br][math][br] = k \cdot \int_0^\ell (30+70e^{-12x}-30)dx[br][/math][br][math][br] = k \cdot \int_0^\ell 70e^{-12x}dx[br][/math][br][math][br] = k \cdot {\large /}_{0}^{\ell} -\frac{70}{12}e^{-12x}[br][/math][br][math][br] = \frac{70}{12}k \left(1-e^{-12\ell}\right)[br][/math][br]
(c)[br]Nyt tunnemme arvot [math] k = 5 [/math] ja [math] P = 20 [/math]. Ainoaksi tuntemattomaksi jää [math] \ell [/math], ja sen voimme ratkaista.[br][br][math][br] P(\ell) = \frac{70}{12} \cdot 5 \left(1-e^{-12\ell}\right) = 20[br][/math][br][math][br] 350-350e^{-12\ell} = 240\\[br][/math][br][math][br] 350e^{-12\ell} = 110[br][/math][br][math][br] e^{-12\ell} = \frac{110}{350}[br][/math][br][math][br] -12\ell = \ln\left(\frac{110}{350}\right)[br][/math][br][math][br] \ell = -\frac{1}{12}\ln\left(\frac{110}{350}\right)[br][/math][br][math][br] \approx 0.096[br][/math][br]
(d)[br][math][br] P(\ell) = \frac{70}{12} \cdot 5 \left(1-e^{-12\ell}\right) = 50[br][/math][br][math][br] 350-350e^{-12\ell} = 600[br][/math][br][math][br] 350e^{-12\ell} = -250[br][/math][br][math][br] e^{-12\ell} = -\frac{250}{350}[br][/math][br][br]Tällä yhtälöllä ei ole ratkaisua. Kun tutkitaan tarkemmin [math] P [/math]:n käyttäytymistä, huomataan, että sen raja-arvo [math]\ell[/math]:n kasvaessa rajatta on noin 29. Täten edes äärettömän pitkä ripa ei riitä tuottamaan haluttua jäähdytystehoa.[br]

Information: Jäähdytysripa