(1, 2.25)

(4, 6)

La tasa de variación media cambia, al cambiar el intervalo, y con ella también lo hace la pendiente de la recta que une los dos puntos involucrados. Recordamos que la tasa de variación media de una función [math]f\left(x\right)[/math] en un intervalo [math]\left[a,b\right][/math] [b]ES [/b] la pendiente de la recta que une [math]\left(a,f\left(a\right)\right)[/math] con [math]\left(b,f\left(b\right)\right)[/math]

[math]T.V.M\left[1,3\right]=\frac{f\left(3\right)-f\left(1\right)}{3-1}=\frac{\frac{9}{4}+2-\left(\frac{1}{4}+2\right)}{3-1}=1[/math]

[math]y=2.25+1\cdot\left(x-1\right)\Longrightarrow y=x+1.25[/math]

En el límite cuando [math]h\longrightarrow0[/math], la recta pasa de ser secante a la curva a tangente a la misma, que se obtiene para [math]h=0[/math].

[math]f´\left(1\right)=lim_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(h+1\right)-f\left(1\right)}{h+1-1}=lim_{h\longrightarrow0}\frac{f\left(1+h\right)-f\left(1\right)}{h}=lim_{h\longrightarrow0}\frac{\left(\frac{1+h}{2}\right)^{^2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{^2}}{h}=[/math][math]=lim_{h\longrightarrow0}\frac{1+h^2+2h-1}{4\cdot h}=lim_{h\longrightarrow0}\frac{h^2+2h}{4\cdot h}=lim_{h\longrightarrow0}\frac{h+2}{4}=\frac{1}{2}[/math]