Ibero 2022 P1

Dado es un triángulo equilátero [math]ABC[/math] con circuncentro [math]O[/math]. Sea [math]D[/math] un punto sobre el arco menor [math]BC[/math] de su circunferencia tal que [math]DB>DC[/math]. La bisectriz perpendicular de [math]OD[/math] se encuentra con la circunferencia circunscrita en [math]E,F[/math], con [math]E[/math] sobre el arco menor [math]BC[/math]. Las líneas [math]BE[/math] y [math]CF[/math] se encuentran en [math]P[/math]. Demostrar que [math]PD\perp BC[/math].

Solución 1

La idea es mostrar que [math]PD[/math] es perpendicular a [math]BC[/math]. Para ello, se busca demostrar las siguientes afirmaciones:[br]1) El cuadrilátero [math]OFDE[/math] es rombo.[br]2) El triángulo [math]\triangle PEC[/math] equilátero.[br]3) El cuadrilátero [math]PEOF[/math] es cíclico.

OFDE paralelogramo

Para ver que el [math]\triangle PEC[/math] es equilátero, se deben identificar dos cuadriláteros cíclicos.

Cuadrilátero [math]ACEB[/math] es cíclico con [math]\angle BAC=60[/math], por lo que: [math]\angle PEC=180-\angle CEB=\angle BAC[/math].

De manera similar, el cuadrilátero [math]EBFC[/math] es cíclico con [math]\angle EBF=\frac{\angle EOF}{2}=60[/math], por lo que: [math]\angle ECP=180-\angle FCE=\angle EBF=60[/math].

Triángulo ECP equilátero

Traza PH y PG, notar que D circuncentro triángulo PEF

Por demostrar que los triángulos PEH y PGC son congruentes

Se tiene la congruencia de triángulos ya que los ángulos [math]\angle PEH=\angle GCP=60[/math] y [math]PE=PC[/math] por ser [math]\triangle PEC[/math] es equilátero, además se tiene que [math]D[/math] es circuncentro del triángulo, por lo que al ser [math]PH[/math] altura, se tiene que [math]\angle CPG=\angle HPE[/math].

Solución 2

Mostrar que [math]D[/math] es ortocentro de [math]\triangle PBC[/math][br][br]En primer lugar, probar que [math]AFPE[/math] es paralelogramo. Para ello, verificar que [math]AF'\parallel EP[/math] y [math]EA\parallel FP[/math]

Trazar AF y EP

Ángulo FPE es 60

Definir [math]G[/math] y [math]H[/math] los puntos de corte al prolongar los trazos [math]BD[/math] y [math]CD[/math] hasta cortar en [math]CP[/math] y [math]PB[/math], respectivamente. [br][br]Resta comprobar que: [math]\angle PBG=\angle HCP=30[/math]

Triángulos PBG y PHC son rectángulos

Solución 3

Prolongar [math]BD[/math] y [math]CD[/math] hasta cortar a [math]CP[/math] y [math]BP[/math] en [math]B'[/math] y [math]C'[/math], respectivamente. [br][br]Como [math]DBAC[/math] es cíclico, basta mostrar que: [math]\angle C'BD=\angle DCB'=30[/math]