Idézzük fel a szabályos poliéderek definícióját:[br]Egy [u]konvex [/u]poliéder [i]szabályos[/i], ha élei, élszögei és lapszögei egyenlők.[br]Ugyanez kissé részletezve:[br][list=1][*] konvex - ebből dódóan egyszerű;[/*][*][b]a).[/b] lapjai szabályos sokszögek ;[br][b]b).[/b] lapjai egybevágók;[br][/*][*][b]a).[/b] testszögletei szabályosak; [br][b]b).[/b] testszögletei egybevágók;[/*][/list][br]Később látni fogjuk, hogy erre a részletezésre akkor lesz szükségünk, ha e feltételek csak részben teljesülnek.[br][br]Egy [u]egyszerű [/u]poliéder [i]kombinatorikus szerkezete szabályos[/i], ha minden lapjának ugyanannyi éle van (vagyis a lapjainak a fokszáma egyenlő), és csúcsainak a fokszáma is egyenlő.[br][br]Először vizsgáljuk meg, melyek azok a poliéderek, amelyek ennek a jóval általánosabb követelménynek eleget tesznek.[br][br]Legyen egy kombinatorikusan szabályos poliéder csúcsainak a fokszáma [i][b]a[/b][/i], lapjainak a fokszáma[i] [b]b[/b][/i]! Egy ilyen [i][b]C[/b][/i] csúcsú [i][b]L[/b][/i] lapú és[b] [i]E[/i][/b] élű poliéderre teljesül, hogy [b]C a=L b =2E,[/b] másrészt erre is érvényes Euler tétele: [b]C+L-E=2[/b].[br]Ezekből könnyen eljutunk az [b]1/a +1/b>1/2[/b] egyenlőtlenségig, amelyet csak ez az öt [b][i](a,b)[/i][/b] számpár elégít ki:[b](3,3), (3,4), (4,3), (3,5)[/b] és [b](5,3)[/b]. Ezek mindegyikéhez tartozik is egy-egy konvex poliéder,[br]a jól ismer [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Szab%C3%A1lyos_testek_t%C3%A9tele]öt platoni test:[/url] a [i]tetraéder, kocka, oktaéder, dodekaéder [/i]és az[i] ikozaéder[/i]. A pontosság kedvért - a kockát kivéve - mindegyik neve elé oda kellene tennünk a [u]szabályos[/u] jelzőt.

A GeoGebra szerkesztői igencsak elkényeztették a program felhasználóit azzal, hogy két adott - mozgatható - pontból kiindulva egy-egy paranccsal elő tudják állítani ezt az öt poliédert. E parancsok rendre előállítják a poliéderek csúcsait, lapjait és éleit a segédalakzatok csoportjába száműzve őket, de ott egyenként beállíthatjuk a színezést, stílust, láthatóság vezérlését.[br][br]Megadhatjuk a poliédert egy lapjának három, egy lapra eső, egymást követő pontjával is, de csak "helyesen", vagyis úgy, hogy ezek a pontok valóban a lap egymást követő pontjai legyenek. [br]Pl. ha [b]A=(-1-1,0), B=(1,1,0) , C=(1,1,2sqrt(2))[/b], akkor a [b]Kocka(A,B,C)[/b] és [b]Kocka(C,B,A)[/b] parancs előállítja az [i](A,B,C) [/i]sík mindkét félterében levő kockát, de a [b]Kocka(B,C,A)[/b] parancs nem definiált objektum lesz.

Ha valamit -joggal - hiányolhatunk a fenti appletben az, hogy semmi információt nem nyújt a szabályos poliéderek csúcsainak a koordinátáiról, az azok közötti összefüggőségekről.[br][br]Ezt a hiányt pótolja az alábbi applet azzal, hogy a már az előző anyagban alkalmazott két listával: a csúcsok [b]V[/b] listájával és a lapok [b]F[/b] listájával adjuk meg a szabályos poliédereket, sőt ezek általánosításait is az- un szabályos csillagpoliédereket. [br][br]A szabályos csillagpoliédereket úgy kapjuk, hogy eltekintünk attól, hogy a poliéderek egyszerűek legyenek, így megengedjük, hogy a lapok önátmetszők ,vagy ütközők is lehetnek.[br] Így az alábbi négy alakzattal bővül a szabályos poliéderek köre:[br][list][*][i][b]Kis csillag dodekaéder:[/b] [/i]lapjai szabályos csillagötszögek, - így a lapok önátmetszők, csúcsai háromélű szabályos testszögletet alkotnak. Csúcsai megegyeznek a konvex szabályos dodekaéder csúcsaival.[/*][*][b][i]Nagy dodekaéder:[/i][/b] lapjai konvex ötszögek, amelyek üköznek egymással.Csúcsai megegyeznek a konvex szabályos ikozaéder csúcsaival.[/*][*][b][i]Nagy csillag dodekaéder:[/i][/b] Lapjai szabályos csillagötszögek, testszögletei önátmetsző szabályos testszögletek. Csúcsai ugyancsak megegyeznek a konvex szabályos ikozaéder csúcsaival.[/*][*][i][b]Nagy ikozaéder:[/b][/i] Lapjai szabályos - de egymással ütköző - háromszögek, testszögletei önátmetszők. Csúcsai megegyeznek a konvex szabályos dodekaéder csúcsaival.[/*][/list][br] [br]