Fino ad ora ci siamo occupati di funzioni che descrivono il valore di una grandezza (ad esempio il mio patrimonio) in funzione di un'altra (ad esempio il tempo che passa). [br][br]Può essere interessante [b]visualizzare come cambia [/b]la grandezza che stiamo esaminando, in particolare [b]la velocità [/b]con cui cambia. In altre parole [b]potrebbe essere interessante ed utile tracciare e studiare il grafico della [u]velocità[/u] dell'output della funzione[/b].[br][br]Il grafico seguente mostra il mio patrimonio, espresso in migliaia di euro, al passare dei mesi. [b]Con quale velocità cambia il mio patrimonio mese per mese?[/b] [br][br]Sei in grado di visualizzare questa velocità su un grafico?[br][br]Ci aiuta il fatto che la velocità cambia nei vari tratti in cui è definita la funzione, ma in ognuno di essi è costante.[b] Da cosa è definita?[/b]

[color=#ff0000]Abbiamo costruito un nuovo grafico, e quindi una nuova funzione, che mese per mese indica la [b]velocità[/b] con cui sta cambiando il nostro patrimonio. [/color][br][br]La funzione originale che descrive il patrimonio è costituita da tratti rettilinei, quindi abbiamo raggiunto l'obiettivo in modo abbastanza semplice: in ogni tratto è possibile calcolare la velocità con cui cambia il patrimonio tramite il coefficiente angolare della retta corrispondente. Per ogni tratto [math]\large{i}[/math], dove in questo caso [math]\large{i}[/math] varia da [math]\large{1}[/math]a [math]\large{4}[/math], la velocità di quel tratto è data da[br][br][math]\Large{v_€(t_i) = \frac{\mbox{variazione di patrimonio}}{\mbox{tempo trascorso}}= \frac{\Delta €_i}{\Delta t_i} = \frac{\Delta y_i}{\Delta x_i}=m_i }[/math][br][br][color=#ff0000]UN CASO PIÙ GENERALE[br][/color]L'esempio che abbiamo visto era piuttosto semplice, perchè la velocità con cui variava il nostro output era costante e poteva essere calcolata con una formula elementare. [b]È importante ricordare che seguiremo questo approccio, che è l'unico che conosciamo, per affrontare anche situazioni più complesse.[/b] Ovviamente sarà necessario adattarlo alla nuova situazione. [br][br]Come cambia la velocità di guadagno nel caso del grafico sotto? [br][br]Rispondi alle domande che ti vengono poste nel modo più completo possibile, ti servono per [i]indagare [/i]la situazione e comprenderne gli elementi, poi passa alla fase successiva per ricevere ulteriori suggerimenti.

Abbiamo intuito che la [b]velocità con cui cambia l'output di una funzione [/b]è associata all'[b]inclinazione del grafico della funzione [/b]stessa. A sua volta questa inclinazione è misurata dal [b]coefficiente angolare della retta tangente alla curva in ogni suo specifico punto[/b].[br][br]In questo modo è possibile [b]tracciare un grafico ad ogni valore [math]\large{x}[/math] indichi [/b]quanto vale il corrispondente coefficiente angolare, cioè [b]come cambia la velocità dell'output[/b]. [br][br]Di fatto [b][color=#ff0000]stiamo costruendo una nuova funzione[/color][/b]: mentre quella originale ad ogni valore [math]\large{x}[/math] associa un certo output (nel nostro caso il patrimonio), questa nuova funzione, [color=#ff0000][b]strettamente associata alla prima, restituisce la velocità con cui tale output sta cambiando[/b][/color]. Questa nuova funzione si chiama [b][color=#ff0000]funzione derivata[/color][/b], probabilmente perchè il suo andamento (e come vedremo anche il calcolo della sua espressione) [i]deriva[/i] da quello della funzione a cui fa riferimento.[br][br]Nei prossimi capitoli vedremo come poter [b]calcolare[/b] in modo diretto il valore di questo coefficiente angolare, ed ottenere quindi punto per punto il risultato della funzione derivata.