[math]\textcolor{green}f:{\textcolor{red}I}\to{\textcolor{green}\mathbb{K}}[/math] est continue en [math]\textcolor{red}{x_0\in I}[/math] si [math]\lim_{\textcolor{red}{x \to x_0}} \textcolor{green}f({\textcolor{red}x})=f({\textcolor{red}{x_0}})[/math][br][br]Mais qu'est-ce que ça veut-dire? Une manière opérationnelle de voir les choses est celle-ci:[br][br][math]\forall {\textcolor{green}\varepsilon} >0, \ \exists \textcolor{red}\delta > 0, \ \forall x \in I, \ \textcolor{red}{|x-x_0| \leqslant \delta}\Rightarrow |\textcolor{green}{f(\textcolor{red}x)-f(\textcolor{red}{x_0})}| \leqslant \textcolor{green}\varepsilon[/math].[br][br]C'est à comprendre comme un jeu: vous me donnez [math]\textcolor{green}\varepsilon[/math] et me mettez au défi de trouver [math]\textcolor{red}\delta[/math] tel que, si [math]\textcolor{red}x[/math] est [math]\textcolor{red}\delta[/math]-proche de [math]\textcolor{red}{x_0}[/math], alors je suis sûr que [math]\textcolor{green}f(x)[/math] est [math]\textcolor{green}\varepsilon[/math]-proche de [math]\textcolor{green}f(\textcolor{red}{x_0})[/math]. C'est-à-dire que la portion de courbe dans la zone rouge est bien aussi dans la zone verte: [math]x \in I, \ \forall \textcolor{red}{|x-x_0| \leqslant \delta}\Rightarrow \textcolor{green}{|f(x)-f({x_0})|\leqslant \varepsilon}[/math][br][br]Comme qui peut le plus, peut le moins, si j'ai un [math]\delta[/math] qui fonctionne, tous les autres plus petits fonctionneront également, donc il y a vraiment un enjeu si on cherche [b]le plus grand[/b] [math]\textcolor{red}\delta[/math] qui fonctionne! [url=https://images.math.cnrs.fr/Les-quantificateurs-et-les-fonctions-continues.html]Explication en bande dessinée[/url] et [url=https://wims.math.cnrs.fr/wims/wims.cgi?module=U1/analysis/epsilon.fr]exercice WIMS[/url] d'entraînement.
Si [math]f(x)=\sin(x)[/math], avec [math]x_0=0[/math], si [math]\varepsilon=0.1[/math], quel est le plus grand [math]\delta[/math] tel que [br][math]\forall \textcolor{red}{x \in I, \ |x-x_0| \leqslant \delta}\Rightarrow |\textcolor{green}{f(\textcolor{red}x)-f(\textcolor{red}{x_0})}| \leqslant \textcolor{green}\varepsilon[/math]?[br]
[math]\delta=\arcsin(0.1)\simeq 0.1001674[/math]
Si [math]f(x)=\sin(x)[/math], avec [math]x_0=\frac\pi2[/math], si [math]\varepsilon=0.1[/math], quel est le plus grand [math]\delta[/math] tel que [br][math]\forall \textcolor{red}{x \in I, \ |x-x_0| \leqslant \delta}\Rightarrow |\textcolor{green}{f(\textcolor{red}x)-f(\textcolor{red}{x_0})}| \leqslant \textcolor{green}\varepsilon[/math]?[br]
[math]\delta=\frac\pi2-\arcsin(0.9)\simeq 0.4510268[/math]
Si [math]f(x)=\lfloor x\rfloor[/math], avec [math]x_0=\frac12[/math], si [math]\varepsilon=0.1[/math], quel est le plus grand [math]\delta[/math] tel que [br][math]\forall \textcolor{red}{x \in I, \ |x-x_0| < \delta}\Rightarrow |\textcolor{green}{f(\textcolor{red}x)-f(\textcolor{red}{x_0})}| < \textcolor{green}\varepsilon[/math]?[br][br][math]\lfloor x\rfloor[/math] se note [code]floor(x)[/code] dans Geogebra.[br]
Si [math]f(x)=\lceil x\rceil[/math], avec [math]x_0=0[/math], si [math]\varepsilon=0.1[/math], quel est le plus grand [math]\delta[/math] tel que [br][math]\forall \textcolor{red}{x \in I, \ |x-x_0| < \delta}\Rightarrow |\textcolor{green}{f(\textcolor{red}x)-f(\textcolor{red}{x_0})}| < \textcolor{green}\varepsilon[/math]?[br][br][math]\lceil x\rceil[/math] se note [code]ceil(x)[/code] dans Geogebra.[br]
[math]f[/math] n'est pas continue en 0.