Questionário - Lei dos Senos

Oi, gente!![br]Nesse material vamos estudar sobre a lei dos senos.[br][br]Essa lei demonstra que num triângulo qualquer a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto será sempre constante.

Ou seja, [math]\frac{a}{\sin\left(A\right)}=\frac{b}{\sin\left(B\right)}=\frac{c}{\sin\left(C\right)}=2R[/math][br]Agora que vocês já sabem a fórmula, vou orientá-los no passo a passo de como chegar nela e entender de onde veio esse R.[br]Bora lá?!

Figura 1

Na Figura 1, os pontos A, B e C são móveis. Você pode "brincar" com eles e também modificar o valor do raio da circunferência.[br]Já brincou?! [br]Então agora vamos ao que interessa!

1. Considere o triângulo ABD. Escreva uma relação entre [math]\alpha[/math], [math]c[/math] e [math]h[/math].

2. Isole [math]h[/math]

3. Seja o triângulo BCD. Escreva uma relação entre [math]\theta[/math], [math]a[/math] e [math]h[/math].

4. Isole [math]h[/math]

5. Dos itens 2 e 4 podemos concluir que

[math]\frac{a}{\sin\left(\alpha\right)}=\frac{c}{\sin\left(\theta\right)}[/math] [math]\sin\left(\alpha\right)=\sin\left(\theta\right)[/math] [math]\sin\left(\alpha\right)\cdot a=\sin\left(\theta\right)\cdot c[/math] [math]a=c[/math]

Vamos guardar essa conclusão que chegamos para usá-la já já.[br]Por enquanto, observe a figura 2.[br]No triângulo ABC foi traçada a altura relativa ao lado BC.[br][br]Obs.: os Pontos A, B e C continuam móveis para que você possa brincar. O valor do raio também é variável![br][br]

Figura 2

6. Considere o triângulo ABE. Escreva uma relação entre [math]\beta[/math], [math]c[/math] e [math]g[/math]

7. Isole [math]g[/math]

8. Considere o triângulo ACE. Escreva uma relação entre [math]\theta[/math], [math]b[/math] e [math]g[/math]

9. Isole [math]g[/math]

10. Dos itens 7 e 9, podemos concluir que

[math]b=c[/math] [math]\frac{b}{\sin\left(\theta\right)}=\frac{c}{\sin\left(\beta\right)}[/math] [math]b\cdot\sin\left(\beta\right)=c\cdot\sin\left(\theta\right)[/math] [math]\frac{b}{\sin\left(\beta\right)}=\frac{c}{\sin\left(\theta\right)}[/math] [math]\sin\left(\theta\right)=\sin\left(\beta\right)[/math]

Agora vamos usar o item 5 que deixamos guardadinho.[br][br]11. Escreva a conclusão que você chegou utilizando os itens 5 e 10.

Agora você vai brincar com a figura 3.[br]Observe que além do triângulo ABC, trabalhado nas figuras anteriores, temos o triângulo BCF.[br][br]Obs.: os pontos A, B e C são móveis o raio também pode ser modificado

Figura 3

12. Da figura 3 podemos concluir que:

O ângulo [math]\alpha[/math] é congruente ao ângulo do ponto F O ângulo [math]\alpha[/math] não é congruente ao ângulo do ponto F

13. Agora você vai arrastar o ponto A e colocá-lo em cima do ponto F. [br]Em seguida, observando o triângulo, escreva a relação que define [math]\sin\left(\alpha\right)[/math]. Dessa forma, temos:[br][br]obs.: lembre-se que R é o raio da circunferência

[math]\sin\left(\alpha\right)=\frac{2R}{a}[/math] [math]\sin\left(\alpha\right)=\frac{R}{a}[/math] [math]\sin\left(\alpha\right)=\frac{a}{R}[/math] [math]\sin\left(\alpha\right)=\frac{a}{2R}[/math]

Do item 11 e 13 conclui-se a lei dos senos. [br]Foi top?! :D[br]Vou deixar agora uma nova figurinha para brincar.

Questionário - Lei dos Senos

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

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