Un [b]helicoide [/b]se genera mediante un segmento que gira alrededor de un eje, a la vez que se desliza en la dirección del eje.[br]Podemos describirlo, en ecuaciones paramétricas, como[br][center][math][br]\left\{[br]\begin{array}{rl}[br]x=&u\cdot cos(v)\\[br]y=&u\cdot sen(v)\\[br]z=&v[br]\end{array}[br]\right.\quad,0\leq v<2\pi.[br][/math][/center]Donde los factores coseno y seno hacen que el segmento vaya girando alrededor del eje z.[br][br]Si a la vez que generamos el heliciode, vamos aplastando los extremos de la superficie, concretamente multiplicando la componente [i]z[/i] por [math]cos(u)[/math], obtenemos una superficie con forma de tornillo: el [b]tornillo[/b] de Steinbach. Para tomar solo la parte parecida al tornillo, restringimos [math]-4\leq u\leq 4[/math].[br][br]Las ecuaciones serían[br][center][math][br]\left\{[br]\begin{array}{rl}[br]x=&u\cdot cos(v)\\[br]y=&u\cdot sen(v)\\[br]z=&v\cdot cos(u)[br]\end{array}[br]\right.\quad,0\leq v<2\pi\ ,\ -4\leq u\leq 4.[br][/math][/center]

Pegando los extremos del helicoide, podemos transformarlo en una [b]catenoide[/b], sin necesidad de estirarlo en el proceso, es decir, a través de una transformación isométrica. Además, en este proceso, todas las superficies intermedias pueden conseguirse de curvatura media nula, esto es, superficies mínimas.[br][br]Una parametrización de la catenoide, obtenida como superficie de revolución a partir de la catenaria, es[br][center][math]\left\{[br]\begin{array}{rl}[br]x=& cosh(u)\cdot cos(v)\\ [br]y=&cosh(u)\cdot sen(v)\\ [br]z=& u\end{array}\right., 0 \leq v< 2\pi .[br][/math][/center]

La catenoide se obtiene como superficie de revolución a partir de la catenaria, y es la única superficie mínima de revolución (aparte del plano). Además, fue la primera superficie no trivial que se demostró que era mínima, por Euler en 1744.[br][br]Para transformar el helicoide en catenoide de forma isométrica, podemos utilizar las siguientes ecuaciones (para el parámetro k de transformación, entre 0 y 2π).[br][center][math]\left\{[br]\begin{array}{rrl}[br]x=& senh(u) sen(v)\,cos(k) &+\,\phantom{u} sen(k)\, cosh(u) cos(v)\\ [br]y=&- senh(u) cos(v)\,cos(k) &+\, \phantom{u} sen(k)\, cosh(u) sen(v)\\ [br]z=& v\, cos(k) &+\, u\, sen(k)\end{array}\right., 0 \leq v< 2\pi .[br][/math][/center]Los valores de [i]u[/i] se tomarán según la longitud que queramos para el segmento que genera el helicoide. Por ejemplo, para que resulte igual que en la actividad anterior, de longitud 8 (el parámetro valoraba entre -4 y 4), tomaremos [math]-\frac{2 π}{3}\leq u< \frac{2π}{3}[/math], pues [math]senh\left(\pm\frac{2\pi}{3}\right)=\pm 4[/math].[br][right][i][size=85](*) Ref. [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Catenoide]Catenoide[/url], en wikipedia.[/size][/i][/right]