[b][size=100][size=150][b][size=100][size=150][b][size=100][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/vffm84sw]探求　数学[/url]Ⅰ」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/size][/b][/size][/size][/b][br]＜測量と計算＞[br][/size][/size][/b][color=#0000ff]（例）[/color]交差点Aから等しい距離にある、高さの差が200ｍのタワーBとタワーCがある。[br]　　Aからみた頂上までの仰角はタワーBが60°で、タワーCが30°とすると、[br]タワーBの高さは何ｍか？[br]　AからBとCまでの距離は等しいので、[br]高さの比は、tan60°:tan30°=[math]\sqrt{3}:\frac{1}{\sqrt{3}}=3:1=x:\left(x-200\right)[/math]。[br]　だから、x=3x-600。x=300(m)[br][br][b][size=100][size=150][color=#999999][br][/color][/size][/size][/b]

[b][size=150]＜多面体と球体＞[br][/size][/b]底面が多角形の柱体は、側面が底面の辺の数だけある。[br]側面を１つにして展開すると２底面がある。[br]底面が多角形のすい体は、側面が底面の辺の数だけある。[br]側面を１つにして展開すると底面が１つある。[br]底面が多角形の柱体・すい体に他の立体を外接・内接する場合、[br]接点を通る断面図をかく。[br]断面図の平面図形における三角形や円のしくみに着目して、[br]相似や三角比などを利用する。[br][color=#0000ff]（例）「[/color]底面が１辺6の正方形KLMNで、のこりの辺も6の四角すいPKLMNがある。[br]　　この四角すいに外接する球体、内接する球体の半径」は？[br]　底面の対辺の２つの中点をA,Cとし、ACの中点をHとする。[br]AC=KL=6。対角線KM=[math]6\sqrt{2}[/math][br]・△PKMの外接円が中心Oを含む外接球体の断面。[br]　PH=KH=[math]3\sqrt{2}[/math]で、角PKM＝角PMK＝45°だから、[br]Hが外接球体の中心Oになる。半径は[math]3\sqrt{2}[/math]　[br] [br]・△PACは二等辺三角形で、この内接円が中心Iを含む内接球体の断面。[br]　AH=6/2=3、PA=PC=[math]3\sqrt{3}[/math]。PH=[math]3\sqrt{2}[/math]。S=[math]\frac{1}{2}AC\cdot PH=3\cdot3\sqrt{2}=9\sqrt{2}[/math][br] 一方で、△PAC の周囲は[math]6+3\sqrt{3}+3\sqrt{3}=6\left(1+\sqrt{3}\right)[/math]から、[br]S=[math]\frac{1}{2}r6\left(1+\sqrt{3}\right)=r\cdot3\left(\sqrt{3}+1\right)[/math]。[br]　r=[math]9\sqrt{2}\div3\left(\sqrt{3}+1\right)=\frac{9\sqrt{2}}{3\left(\sqrt{3}+1\right)}=\frac{3\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\left(\sqrt{3}\right)^2-1^2\right)}=\frac{3}{2}\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)[/math][br]

[size=150][b]＜関係式の単純化＞[/b][/size][br][color=#0000ff]（例）△[/color]ABCでsinAcosB=sinBcosAが成り立つときの特徴は？[br]式変形すると、[math]\frac{sinA}{cosA}=\frac{sinB}{cosB}[/math]だから、tanA=tanB。だから、[br]角A=角Bの二等辺三角形になる。[br][br][color=#0000ff]（例）△[/color]ABCで2cosBsinC=sinAが成り立つときの特徴は？[br]正弦定理から、[math]cosB=\frac{1}{2}\cdot\frac{sinA}{sinC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{c}=\frac{a}{2c}[/math]だから、[br]余弦の定義から、BAを延長して、cの2倍のc'となる頂点A’をとる。[br]△A'BCは直角三角形で、Aが外接円の中心、半径がｃになり、[br]AB=ACの二等辺三角形になる。[br]　

[b][size=150]＜内接四角形への利用＞[/size][/b][br][color=#0000ff][b]対角線の２乗を[/b][/color]、[b]余弦定理[/b]によって、４辺とコサインで[color=#0000ff][b]２通りに表すことができる[/b][/color]。[br]また、[b][color=#0000ff]内接四角形の対角のコサインは異符号で同じ大きさ[/color][/b]になることも利用できる。[br]また、[b][color=#0000ff]内接四角形の対角のサインが等しいことが面積計算に使えるね。[/color][/b][br]コサインからサインを求めると、面積の計算に利用できる。[br]三角形の面積は、1/2×2辺の積×間角のサインだからね。[br][br][color=#0000ff]（例）[/color]「AB,BC,CD,DAの順[math]8,3,5,5[/math]の四角形が円に内接している。ACとBDの交点がEならBE:ED」は？[br] sinB=sin(180-B)だから、三角形ABC：三角形ADC＝1/2･8･3sinB: 1/2･5･5sin(180-B)=24:25[br] BE:EDはACを底辺とするときの三角形ABCと三角形ADCの高さと一致するから、[br]面積比とも一致する。だから、BE：ED＝24:25。[br][color=#0000ff]（例）「[/color]AB,BC,CD,DAの順[math]5,4,4,1[/math]の四角形が円に内接している。sinBと内接四角形の面積」は？[br]　cosB=x、AC=yとおく。cos(180°-B)=-xで、[br]余弦定理から、y[sup]2[/sup]=5[sup]2[/sup]+4[sup]2[/sup]-2･5･4･x=1[sup]2[/sup]+4[sup]2[/sup]-2･1･4･(-x)。[br]　41-40x=17+8xとなるから、24=48x。x=1/2=cosB。[br]B=60°となり、sinB=[math]\frac{\sqrt{3}}{2}[/math]=sin(180°-B)。[br] △ABC＋△ADC＝[math]\frac{1}{2}\left(5\cdot4\cdot sinB+1\cdot4\cdot sin\left(180^\circ-B\right)\right)=\frac{1}{2}\left(20+4\right)\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}[/math][br][color=#0000ff]（例）「[/color]AB,BC,CD,DAの順[math]6,5,5,3[/math]の四角形が円に内接している。ACの長さと内接四角形の面積」は？[br]　cosB=x、AC=yとおく。cos(180°-B)=-xで、[br]余弦定理から、y[sup]2[/sup]=6[sup]2[/sup]+5[sup]2[/sup]-2･6･5･x=3[sup]2[/sup]+5[sup]2[/sup]-2･3･5･(-x)。[br]　61-60x=34+30xとなるから、27=90x。x=3/10=cosB。[br]　y=√(61-60×3/10)=√43。[br] sinB=√(1-(3/10)[sup]2[/sup])=√91/10=sin(180-B)°[br] △ABC＋△ADC＝[math]\frac{1}{2}\left(6\cdot5+5\cdot3\right)\cdot\frac{\sqrt{91}}{10}=\frac{9\sqrt{91}}{4}[/math][br][b][size=150]＜一般化してみよう＞[/size][/b][br]「AB,BC,CD,DAの順にp,q,r,sの四角形が円に内接している。ACの長さと内接四角形の面積」は？[br]　cosB=x、AC=yとおく。cos(180°-B)=-xで、[br]余弦定理から、y[sup]2[/sup]=p[sup]2[/sup]+q[sup]2[/sup]-2･pq･x=r[sup]2[/sup]+s[sup]2[/sup]-2･rs･(-x)。[br]　p[sup]2[/sup]+q[sup]2[/sup]-(r[sup]2[/sup]+s[sup]2[/sup])=2･(pq+rs)x。x=[math]\frac{(p^2+q^2-(r^2+s^2))}{2(pq+rs)}[/math]=cosB。[br]・AC=y=√(p[sup]2[/sup]+q[sup]2[/sup]-2･pq×((p[sup]2[/sup]+q[sup]2[/sup]-(r[sup]2[/sup]+s[sup]2[/sup]))/2(pq+rs))=[math]\sqrt{\frac{pq\left(r^2+s^2\right)+rs\left(p^2+q^2\right)}{pq+rs}}[/math][br]・sinB=sin(180-B)°＝[math]\sqrt{1-x^2}=\sqrt{\left(1+x\right)\left(1-x\right)}=\sqrt{\frac{2(pq+rs)+(p^2+q^2-(r^2+s^2))}{2(pq+rs)}}\sqrt{\frac{2(pq+rs)-(p^2+q^2-(r^2+s^2))}{2(pq+rs)}}[/math][br][math]=\sqrt{\frac{(\left(p+q\right)^2-\left(r-s\right)^2}{2(pq+rs)}}\sqrt{\frac{\left(r+s\right)^2-\left(p-q\right)^2}{2(pq+rs)}}[/math][math]=\frac{\sqrt{\left(p+q+r-s\right)\left(p+q-r+s\right)}\sqrt{\left(r+s+p-q\right)\left(r+s-p+q\right)}}{2\left(pq+rs\right)}[/math][br]　　[br]・S＝△ABC＋△ADC＝1/2(pq･sinB + rs･sin(180-B)）＝[math]\frac{1}{2}\left(pq+rs\right)\cdot\frac{\sqrt{\left(p+q+r-s\right)\left(p+q-r+s\right)}\sqrt{\left(r+s+p-q\right)\left(r+s-p+q\right)}}{2\left(pq+rs\right)}[/math][br][math]=\frac{\sqrt{\left(-p+q+r+s\right)\left(p-q+r+s\right)\left(p+q-r+s\right)\left(p+q+r-s\right)}}{4}[/math][br][math]=\frac{\sqrt{\left(t-2p\right)\left(t-2q\right)\left(t-2r\right)\left(t-2s\right)}}{4}\left(t=p+q+r+s\right)[/math][br][color=#0000ff]（参考）[br][/color]上の最後の式で内接四角形の4辺をp,q,r,sのかわりにa,b,c,dにする。[br]t=p+q+r+sのかわりに[color=#0000ff][b][size=150]s=1/2(a+b+c+d)[/size][/b][/color]にする。[br]そうすると、分母の４を√の中にいれて、4・4＝16＝2・2・2・2にとなる。[br]だから、(t−2p)/2=(s-a)のように、４つのカッコがすべて変換できて分母の４が消える。[br][b][color=#0000ff][size=150]S=√(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)（s=1/2(a+b+c+d)) となる。[br][/size][/color][/b]これをブラマグプタの公式と呼ぶらしい。d=0として、内接四角形を三角形にしたとき[br][b][color=#0000ff][size=150]S=√(s-a)(s-b)(s-c)s (s=1/2(a+b+c))となる。[br]これはヘロンの公式と同じだね。[br][/size][/color][/b]