Acest material ilustrează, prin intermediul unei animaţii, un mod de construcţie a desfăşurării tetraedrului tridreptunghic pe planul bazei. Animaţia poate fi pornită, întreruptă şi resetată cu ajutorul unor butoane situate în partea stângă a ferestrei inferioare. Butonul cu săgeată verde permite realizarea secvenţială a construcţiei.[br]După finalizarea animaţiei, apar, în partea dreaptă a ferestrei inferioare, sub imaginea 3 D desfăşurării, butoanele ce controlează animaţia construcţiei tetraedrului.[br]
[list=1][*]Demonstraţi că cercurile care au drept diametre două laturi ale unui triunghi şi sunt situate în planul triunghiului, se intersectează în piciorul înălţimii corespunzătoare celei de-a treia laturi a triunghiului.[/*][/list]
[math]m\left(\angle ADB\right)=m\left(\angle ADC\right)=90^{\circ}[/math]( unghiuri înscrise în semicercuri) (1)[br][math]m\left(\angle BDC\right)=m\angle\left(ADB\right)+m\left(\angle ADC\right)[/math] (2)[br]Din (1) si (2) rezultă că [math]m\left(\angle BDC\right)=180^\circ[/math], deci punctele B, D şi C sunt coliniare.
Demonstraţi: V[sub]3[/sub]A=V[sub]2[/sub]A, V[sub]1[/sub]B=V[sub]3[/sub]B, V[sub]1[/sub]C=V[sub]2[/sub]C.
[math]\Delta[/math]AFV[sub]3[/sub] [math]\sim[/math] [math]\Delta[/math] AV[sub]3[/sub]B (m([math]\angle[/math]F)=m(V[sub]3[/sub])=90[math]^\circ[/math] şi [math]\angle[/math]FAV[sub]3[/sub] [math]\equiv[/math] [math]\angle[/math] V[sub]3[/sub]AB) [math]\Rightarrow[/math] [math]\frac{AV_3}{AB}=\frac{AF}{AV_3}[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]AV_3^2=AF\cdot AB[/math]. (1)[br]Analog, se demonstrează: [math]AV_2^2=AE\cdot AC[/math]. (2)[br][math]\Delta[/math]AFC [math]\sim[/math] [math]\Delta[/math]AEB ( [math]m\left(\angle AFC\right)=m\left(\angle AEB\right)=90^\circ[/math], [math]\angle FAC\equiv\angle EAB[/math]) [math]\Rightarrow[/math] [math]\frac{AF}{AE}=\frac{AC}{AB}\Leftrightarrow AF\cdot AB=AE\cdot AC[/math]. (3)[br]Din (1), (2) şi (3) [math]\Rightarrow[/math] AV[sub]2 [/sub] = AV[sub]3 [/sub].[br]Analog, se demonstrează[sub] [/sub] că BV[sub]3[/sub]=BV[sub]1 [/sub] şi CV[sub]1 [/sub]= CV[sub]2[/sub] .
Exprimaţi VA, VB şi VC în funcţie de lungimile laturilor [math]\Delta ABC[/math].
Fie x=VA, y=VB, z=VC.[br]x[sup]2[/sup] +y[sup]2[/sup] = c[sup]2 [/sup] (1)[br]y[sup]2[/sup] +z[sup]2[/sup] = a[sup]2 [/sup] (2)[br]z[sup]2[/sup] +x[sup]2[/sup] = b[sup]2[/sup] (3)[br]Din (1), (2), (3) [math]\Rightarrow[/math] [math]x^{2^{ }}+y^2+z^2=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}[/math]. (4)[br]Din (2) şi (4) [math]\Rightarrow[/math] [math]x=\sqrt{\frac{b^2+c^2-a^2}{2}}[/math]. [br]Din (3) şi (4) [math]\Rightarrow[/math] [math]y=\sqrt{\frac{a^2+c^2-b^2}{2}}[/math].[br]Din (1) şi (4) [math]\Rightarrow[/math] [math]z=\sqrt{\frac{a^2+b^2-c^2}{2}}[/math].