Oletetaan että eräs kaupunki on muodoltaan ympyräkiekon muotoinen, ja sen säde on 10 kilometriä. Väentiheys kaupungissa noudattaa funktiota [math]\rho(r) = 1000 (1+r^2)^{-1/2}[/math], missä [math]r[/math] on etäisyys kaupungin keskustasta. Väentiheys keskustassa on siis 1000 ihmistä per neliökilometri, ja väentiheys tippuu mentäessä kohti kaupungin laitoja.[br][br]a) Kuinka monta ihmistä kaupungissa asuu?[br][br]b) Kaupunkiin rakennetaan keskustan ympärille ympyrän muotoinen junarata niin, että radan sisälle jää sama määrä ihmisiä kuin radan ulkopuolelle. Mille etäisyydelle keskustasta rata rakennetaan? Entä jos radan ulkopuolelle halutaan jäävän neljännes kaupungin ihmisistä, mikä on etäisyys silloin?

Olkoon p kaupungissa asuvien ihmisten määrä. Pinta-alalla [math]dA=2\pi dr[/math] asuu ihmisiä [math]dp=\rho dA=1000 (1+r^2)^{-1/2} \cdot 2\pi.[/math] Koko kaupungissa asuu silloin ihmisiä[br][br][math]\begin{align}\large[br] p &= \int_0^{10} \rho dA = \int_0^{10} 1000 (1+r^2)^{-1/2} \cdot 2\pi dr\\[br] &= 1000\pi \left [ 2(1+r^2)^{1/2}\right ]_{0}^{10}\\[br] &= 1000\pi \cdot 2((1+100)^{1/2}-1)\\[br] &= 2000\pi (\sqrt{101}-1)\\[br] &\approx 5686[br]\end{align}[br][/math][br][br]

Olkoon junaradan etäisyys kaupungin keskustasta [i]R[/i] ([i]R[/i] >0). Aluksi halutaan, että radan sisäpuolelle jää sama määrä ihmisiä kuin radan ulkopuolelle, eli kummallekin puolelle jää puolet ihmisistä.[br][math][br]\begin{align}[br] \int_0^{R} 1000 (1+r^2)^{-1/2} \cdot 2\pi dr &= \frac{1}{2} \cdot 2000\pi (\sqrt{101}-1)\\[br] \left [ 2(1+r^2)^{1/2}\right ]_{0}^{R} &= \sqrt{101}-1\\[br] 2(1+R^2)^{1/2} -2 &= \sqrt{101}-1\\[br] 2\sqrt{1+R^2} &= \sqrt{101}+1 &||\uparrow 2\\[br] 4(1+R^2) &= 102 + 2\sqrt{101}\\[br] R^2 &= \frac{1}{4} \left( 102 + 2\sqrt{101}\right)-1\\[br] R &= \sqrt{\frac{1}{4} \left( 102 + 2\sqrt{101}\right)-1}\approx 5.43 &[br] [br]\end{align}[/math][br][br]Seuraavaksi halutaan, että junaradan sisäpuolelle jää kolme neljäsosaa väestöstä.[br][math][br]\begin{align}[br] \int_0^{R} 1000 (1+r^2)^{-1/2} \cdot 2\pi dr &= \frac{3}{4} \cdot 2000\pi (\sqrt{101}-1)\\[br] \left [ 2(1+r^2)^{1/2} \right ]_{0}^{R}&= \frac{3}{2} \left(\sqrt{101}-1\right)\\[br] 2(1+R^2)^{1/2} -2 &= \frac{3}{2} \left(\sqrt{101}-1\right)\\[br] \sqrt{1+R^2} &= \frac{3}{4} \left(\sqrt{101}-1\right) +1 \\[br] \sqrt{1+R^2}&= \frac{3}{4} \left(\sqrt{101}+\frac{1}{3}\right) &||\uparrow 2\\[br] R^2 &= \frac{9}{16} \left(\sqrt{101}+\frac{1}{3}\right)^2-1\\[br] R &= \sqrt{\frac{9}{16} \left(\sqrt{101}+\frac{1}{3}\right)^2-1} \approx 7.72 &[br]\end{align}[br][/math]