[size=50][right]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url].[br][size=100][size=85][/size][/size][/right][size=100][size=85][br]Das Applet zeigt die Konstruktion [color=#38761D][i][b]konfokaler[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] in der [color=#0000ff][b]Hyperbolischen Ebene[/b][/color].[br]Die [/size][/size][/size][size=50][size=100][size=85][size=50][size=100][size=85][color=#0000ff][b]Hyperbolischen Ebene[/b][/color][/size][/size][/size] wird dargestellt durch das [color=#0000ff][i]Kreisscheiben-Modell[/i][/color] von [b]Beltrami[/b] und [b]F. Klein[/b]:[br][color=#ff7700][b]PUNKTE[/b][/color] sind die Punkte innerhalb eines [color=#B45F06][i][b]absoluten Kreises[/b][/i][/color], im Applet ist es der [color=#f1c232][i][b]Einheitskreis[/b][/i][/color] in [math]\mathbb{C}[/math].[br][color=#38761D][b]GERADEN[/b][/color] sind die innerhalb des Kreises verlaufenden Geradenstücke (Sehnen).[br]Zur Konstruktion von MITTELPUNKTEN, MITTELSENKRECHTEN, KREISEN und SPIEGELUNGEN: siehe [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/YAaHD467]die Aktivität zuvor[/url].[br]WINKELHALBIERENDE lassen sich über SPIEGELUNGEN definieren: eine WINKELHALBIERENDE zweier sich schneidenden[br]GERADEN ist eine GERADE, an der GESPIEGELT die beiden GERADEN vertauscht werden.[br][color=#38761D][i][b]Konfokale[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]KEGELSCHNITTE[/b][/i][/color] lassen sich in der [/size][/size][/size][size=50][size=100][size=85][size=50][size=100][size=85][size=50][size=100][size=85][color=#0000ff][b]Hyperbolischen Ebene[/b][/color][/size][/size][/size][/size][/size][/size] exakt so definieren, wie dies [br]in der [color=#0000ff][b]euklidischen Ebene[/b][/color] möglich ist:[br]gegeben sind 2 verschiedene [color=#00ff00][i][b]BRENNPUNKTE[/b][/i][/color] [color=#00ff00][b]f[sub]1[/sub][/b][/color], [color=#00ff00][b]f[sub]2[/sub][/b][/color]. Der [color=#00ff00][i][b]BRENNPUNKT[/b][/i][/color] [/size][/size][/size][size=50][size=100][size=85][size=50][size=100][size=85][color=#00ff00][b]f[sub]2[/sub][/b][/color][/size][/size][/size] wird ausgezeichnet.[br][color=#0000ff][i][b]LEITKREISE[/b][/i][/color] sind die [i][b]KREISE[/b][/i] um [/size][/size][/size][size=50][size=100][size=85][size=50][size=100][size=85][size=50][size=100][size=85][color=#00ff00][b]f[sub]1[/sub][/b][/color][/size][/size][/size][/size][/size][/size], im vorliegenden Modell sind dies keine Kreise in [math]\mathbb{C}[/math]![br]Jedem [color=#0000ff][i][b]LEITKREIS[/b][/i][/color] [color=#0000ff][b]c[sub]L[/sub][/b][/color] ist ein [color=#ff7700][i][b]KEGELSCHNITT[/b][/i][/color] eindeutig wie folgt zugeordnet:[br]zu den PUNKTEN [color=#ff7700][b]q[/b][/color] auf [/size][/size][/size][size=50][size=100][size=85][color=#0000ff][b]c[sub]L[/sub][/b][/color][/size][/size][/size][size=50][size=100][size=85] konstruiere man die MITTELSENKRECHTE [color=#999999][b]t[/b][/color] der Strecke [b][color=#ff7700]q[/color][/b][/size][/size][/size][size=50][size=100][size=85][b][color=#ff7700][size=50][size=100][size=85][color=#00ff00][b]f[sub]2[/sub][/b][/color][/size][/size][/size][/color][/b].[br][/size][/size][/size][size=50][size=100][size=85][size=50][size=100][size=85][color=#999999][b]t[/b][/color][/size][/size][/size] ist [color=#b6b6b6][i][b]TANGENTE[/b][/i][/color] an den gesuchten [/size][/size][/size][size=50][size=100][size=85][size=50][size=100][size=85][color=#ff7700][i][b]KEGELSCHNITT[/b][/i][/color][/size][/size][/size].[br]Der [color=#ff0000][i][b]BRENNSTRAHL[/b][/i][/color] [/size][/size][/size][size=50][size=100][size=85][size=50][size=100][size=85][color=#ff7700][b]q[/b][/color][/size][/size][/size][/size][/size][/size][size=50][size=100][size=85][size=50][size=100][size=85][color=#00ff00][b]f[sub]1[/sub][/b][/color][/size][/size][/size] schneidet die [/size][/size][/size][size=50][size=100][size=85][size=50][size=100][size=85][color=#b6b6b6][i][b]TANGENTE[/b][/i][/color][/size][/size][/size] [/size][/size][/size][size=50][size=100][size=85][size=50][size=100][size=85][size=50][size=100][size=85][color=#999999][b]t[/b][/color][/size][/size][/size][/size][/size][/size] in dem PUNKT [color=#ff7700][b]p[/b][/color] des [/size][/size][/size][size=50][size=100][size=85][size=50][size=100][size=85][size=50][size=100][size=85][color=#ff7700][i][b]KEGELSCHNITTS[/b][/i][/color][/size][/size][/size][/size][/size][/size].[br]Die [/size][/size][/size][size=50][size=100][size=85][size=50][size=100][size=85][color=#b6b6b6][i][b]TANGENTE[/b][/i][/color][/size][/size][/size] [/size][/size][/size][size=50][size=100][size=85][size=50][size=100][size=85][size=50][size=100][size=85][color=#999999][b]t[/b][/color][/size][/size][/size][/size][/size][/size] ist WINKELHALBIERENDE der beiden [color=#ff0000][i][b]BRENNSTRAHLEN[/b][/i][/color] [b][color=#00ff00]f[sub]1[/sub][/color][/b][/size][/size][/size][size=50][size=100][size=85][b][size=50][size=100][size=85][color=#ff7700][b]p[/b][/color][/size][/size][/size][/b] und [b][color=#00ff00]f[sub]2[/sub][/color][/b][/size][/size][/size][size=50][size=100][size=85][b][size=50][size=100][size=85][color=#ff7700][b]p[/b][/color][/size][/size][/size][/b].[br]Für [color=#ff7700][i][b]Ellipsen[/b][/i][/color] ist diese Konstruktion die aus der [color=#0000ff][i][b]euklidischen Geometrie[/b][/i][/color] bekannte [i][b]Gärtner[/b][/i]-Konstruktion,[br]die [color=#0000ff][i]Abstande[/i][/color] sind natürlich [color=#0000ff][i][b]hyperbolisch[/b][/i][/color] zu messen![br][color=#ff7700][i][b]ELLIPSEN[/b][/i][/color] liefern die jenigen [color=#0000ff][i][b]LEITKREISE[/b][/i][/color], die beide [color=#00ff00][i][b]BRENNPUNKTE[/b][/i][/color] enthalten: man bewege dazu den [color=#00ffff][i][b]LEITKREISPUNKT[/b][/i][/color] [color=#00ffff][b]q[sub]L[/sub][/b][/color]. [br]Die Kurven oben sind als Ortskurven "konstruiert": Wenn [color=#00ffff][b]q[/b][/color] sich auf dem [/size][/size][/size][size=50][size=100][size=85][size=50][size=100][size=85][color=#0000ff][i][b]LEITKREIS[/b][/i][/color][/size][/size][/size] bewegt, bewegt sich der Schnitt-Punkt [/size][/size][/size][size=50][size=100][size=85][size=50][size=100][size=85][color=#ff7700][b]p [/b][/color][/size][/size][/size][br]auf der Ortskurve. Dass es sich tatsächlich um einen [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitt[/b][/i][/color] handelt, läßt sich nicht mit Hilfe der [/size][/size][/size][size=50][size=100][size=85][size=50][size=100][size=85][color=#00ff00][i][b]BRENNPUNKTE[/b][/i][/color][/size][/size][/size] direkt[br]nachprüfen: wir haben 4 PUNKTE auf der Kurve und eine [/size][/size][/size][size=50][size=100][size=85][size=50][size=100][size=85][color=#b6b6b6][i][b]TANGENTE[/b][/i][/color][/size][/size][/size] in einem der PUNKTE konstruiert.[br]Der hierdurch eindeutig festgelegte Kegelschnitt stimmt mit der Ortskurve überein![/size][/size][/size]

[size=85][color=#cc0000][i][b]Warum "quadratisches Vektorfeld"?[/b][/i][/color][br][br]Der Situation zugrunde liegt ein [color=#cc0000][i][b]quadratisches Vektorfeld[/b][/i][/color] auf der [b]Riemann[/b]schen Zahlenkugel [br]mit 4 auf einem [color=#ff0000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] liegenden [color=#00ff00][i][b]Brennpunkten[/b][/i][/color]. Dazu gehören 4 paarweise orthogonale [color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color],[br]einer davon imaginär. Wählt man einen der reellen [/size][size=85][size=85][color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Kreise[/b][/i][/color][/size], auf welchem die [/size][size=85][size=85][color=#00ff00][i][b]Brennpunkte[/b][/i][/color][/size] n i c h t [br]liegen als [color=#BF9000][i][b]Äquator[/b][/i][/color] und projiziert man die [color=#0000ff][i][b]Möbius-Kugel[/b][/i][/color] senkrecht auf die [color=#ff7700][i][b]Äquatorebene[/b][/i][/color], so ergibt sich die oben gezeigte[br][color=#0000ff][i][b]hyperbolische[/b][/i][/color] [b]Beltrami-Klein-[color=#0000ff][i]Ebene[/i][/color][/b]. [br]Die [color=#38761D][i][b]konfokalen[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color] auf der [color=#0000ff][i][b]Möbiusebene[/b][/i][/color] werden projiziert auf [color=#38761D][i][b]konfokale[/b][/i][/color] [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] in der[br][color=#0000ff][i][b]Hyperbolischen Ebene[/b][/i][/color].[br][br][color=#cc0000][i][b]Bemerkung:[/b][/i][/color] Würde man das [color=#980000][i][b]quadratische Vektorfeld[/b][/i][/color] auf der Kugel von dem im Inneren der [color=#0000ff][i][b]Möbius-Kugel[/b][/i][/color] liegenden[br][color=#BF9000][i][b]Symmetrie-Punkt[/b][/i][/color] auf die [i][b]polare[/b][/i] [color=#0000ff][i][b]Elliptische Ebene[/b][/i][/color] projizieren, erhielte man ganz analog [i][b]konfokale[/b][/i] [color=#ff7700][i][b]Kegelschnitte[/b][/i][/color] [br]in der [color=#0000ff][i][b]Elliptischen Ebene[/b][/i][/color]. Die Konstruktionen wären dann [color=#0000ff][i][b]elliptisch[/b][/i][/color], aber sonst identisch![br][/size]