[size=150][justify]Escreva uma prova para o Teorema de Varignon.[br][br][b]Dica: [/b]Utilizando a ferramenta [icon]https://www.geogebra.org/images/ggb/toolbar/mode_segment.png[/icon], trace uma das diagonais do quadrilátero ABCD e utilize o teorema da base média de um triângulo.[br][/justify][/size]
[size=150][justify]Ao traçar a diagonal AC do quadrilátero ABCD, este fica dividido em dois triângulos ABC e ACD. Note que bases médias relativas ao lado AC, que comum aos dois triângulos, são, respectivamente, os segmentos EF e HG. Logo, EF e HG são ambos paralelos a AC e, portanto, paralelos entre si. Além disso, ambos possuem a mesma medida, a saber, metade da medida de AC, o que prova que EFGH é um paralelogramo, já que é um quadrilátero que possui um par de lados opostos paralelos e congruentes.[br]Para provar que a área desse paralelogramo mede metade da área do quadrilátero ABCD. Observemos ainda os triângulos obtidos a partir do traçado da diagonal AC. Utilizando o resultado do Problema 1, podemos concluir que (EBF)=(ABC)/4 e (DHG)=(DAC)/4. Como (ABCD) = (ABC)+(DAC), então (EBF)+(DHG) = (ABC)/4+(DAC)/4 = ((ABC)+(DAC))/4 = (ABCD)/4.[br]Por meio de raciocínio análogo, feito a partir do traçado da diagonal BD do quadrilátero ABCD, pode-se concluir que (AEH)+(CFG) = (ABCD)/4.[br]Assim, temos que (EBF)+(DHG)+(AEH)+(CFG) = (ABCD)/4 + (ABCD)/4 = (ABCD)/2, ou seja, que a área verde mede metade da área do quadrilátero ABCD. Mas isso significa que a área azul, ou seja, a área do paralelogramo, mede metade de (ABCD), como queríamos demonstrar.[br][br][b]Observação:[/b] O uso dos parênteses em (ABC) é uma notação que indica que estamos nos referindo à medida da área do polígono ABC.[/justify][/size]